1. Proportion et pourcentage

1.1. Proportion, fréquence

Déf. 1.1.1 Soit $E$ un ensemble ayant $n$ éléments et $F$ une partie de $E$ ayant $k$ éléments.
La proportion (ou fréquence) des éléments de $F$ dans $E$ est le quotient \[p = \frac k n.\]

Exemple

En 2°5, il y a 30 élèves dont 18 filles. Quelle est la proportion de filles ? \[p = \frac{18}{30} = \frac 3 5 = 0,6.\]

1.2. Pourcentage

Déf. 1.2.1. Une proportion est exprimée en pourcentage si elle est sous la forme d'un quotient de dénominateur 100. Le symbole % signifie donc « divisé par 100 ».

Exemple

Reprenons l'exemple précédent et exprimons la proportion de filles en 2°5 sous forme de pourcentage : \[p = 0,6 = \frac{60}{100} = {60}\text{%}.\]

1.3. Proportion de proportion

Prop. 1.3.1 Soient $A$ un ensemble, $B$ une partie de $A$ et $C$ une partie de $B$.
Si la proportion de $B$ dans $A$ est $p$, et que la proportion de $C$ dans $B$ est $p'$, alors la proportion de $C$ dans $A$ est \[pp'.\]

Exemple

60% des membres d'un groupe sont des garçons, et 20% des garçons de ce groupe portent des lunettes.
Quelle est la proportion des garçons à lunettes parmi les membres du groupe ?
60% = 0,6 et 20% = 0,2, donc la proportion cherchée est
0,6 × 0,2 = 0,12 = 12%.

2. Évolutions

2.1. Évolution absolue, évolution relative

Déf. 2.1.1. Soit une quantité variable passant d'une valeur initiale $V_i$ à une valeur finale $V_f$.
La variation absolue de cette quantité est \[V_f - V_i.\] Si $V_i$ est non nulle, la variation relative de la quantité est \[\dfrac{V_f - V_i}{V_i}.\]

Exemples

Le prix d'un article de consommation courante passe de 10 € à 12 €.
- La variation de prix absolue est \[12 - 10 = {2\ \text{€}}.\]
- La variation de prix relative est \[\dfrac{12 - 10}{10} = 0,2 = +20\ \text{%.}\]
Si maintenant le prix passe de 12 € à 10 €.
- La variation absolue du prix est \[10 - 12 = -2\ \text{€}.\]
- La variation relative du prix est \[\dfrac{10-12}{12} \approx -0,167 \approx {-16,7\ \text{%}}.\]

2.2. Coefficient multiplicateur

Prop. & déf. 2.2.1. Soit une quantité qui, passant d'une valeur $V_i$ à une valeur $V_f$, a une évolution relative égale à $p$.
Alors \[V_f = c\times V_i\] où $c$, appelé coefficient multiplicateur, vérifie la relation \[c = 1+p.\]

Exemple 1 Exemple 2 Exemple 3

Si une quantité augmente de 20 %, alors elle est multipliée par \[c = 1 + \frac{20}{100} = 1+0,2 = 1,2.\]

Si une quantité évolue de −30 %, alors elle est multipliée par \[c = 1 - \frac{30}{100} = 1 - 0,3 = 0,7.\]

Quelle évolution en pourcentage correspond au coefficient $1,4$? au coefficient $0,8$?
On a \[c = 1+ p \iff p = c - 1.\] Donc si $c= 1,4$: \[p = c - 1 = 1,4 - 1 = 0,4 = +40\:\text{%}.\] Si $c = 0,8$ : \[p = c - 1 = 0,8 - 1 = -0,2 = -20\;\text{%}.\]

Preuve

Par hypothèse \[\frac{V_f- V_i}{V_i} = p.\] Donc : \[\begin{aligned} &\frac{V_f - V_i}{V_i} = p& \\ \iff &V_f - V_i = pV_i& \\ \iff &V_f = V_i + pV_i& \\ \iff &V_f = (1+p)V_i& \end{aligned}\]

2.3. Évolutions successives

Exemple 1.

Un article voit son prix augmenter de 20 % puis de 30 %. Quelle a été son évolution relative globale ?
Le prix a d'abord été multiplié par $1+0,2 = 1,2$
puis par $1+0,3 = 1,3$.
Il a donc été multiplié par $1,2 \times 1,3 = 1,56$
Or 1,56 est le coefficient d'une évolution de : \[1,56 - 1 = 0,56 = +56\ \text{%}.\]

Exemple 2.

Un prix augmente de 50 % puis diminue de 50 %. Est-il revenu à sa valeur initiale ?
En augmentant de 50 %, le prix a été multiplié par \[1+0,5 = 1,5.\] En diminuant de 50 %, il a été multiplié par \[1-0,5 = 0,5.\] Globalement, il a donc été multiplié par \[1,5 \times 0,5 = 0,75.\] Traduisons ce coefficient multiplicateur en évolution relative: \[0,75 - 1 = -0,25 = -25\ \text{%}.\] Donc le prix n'est pas revenu à sa valeur initiale, il a en fait diminué de 25 %.

2.4. Évolution réciproque

Déf. 2.4.1 Si une valeur subit une évolution relative $p$, l'évolution réciproque est l'évolution qui la ramène à sa valeur de départ.

Exemple 1.

Un prix augmente de 20 %. Quelle évolution en pourcentage le ramènera à sa valeur initiale ?
En augmentant de 20%, le prix à été multiplié par : \[1+\frac{20}{100} = 1,2.\] Pour revenir à sa valeur de départ, il doit donc être multiplié par \[\frac 1{1,2} \approx 0,833.\] Il doit donc subir l'évolution: \[0,833 - 1 = -0,167 = -16,7\:\text{€}.\]

Indice de base 100

Déf. Soit une quantité ayant pris la valeur $Q_1$ au temps $T_1$ puis la valeur $Q_2$ au temps $T_2$.
L'indice de base 100 au temps $T_1$ correspondant à la valeur $Q_2$ est : \[I = \frac{Q_2}{Q_1} \times 100.\]

Exemple.

Le prix moyen d'un litre de gazole en janvier 2017 était de 1,27€.
Le prix moyen de ce même litre de gazole en janvier 2025 était de 1,71€.
L'indice du prix du litre de gazole en janvier 2025 avec pour base 100 le prix de janvier 2017 est donc: \[\frac{1,71}{1,27} \times 100 \approx 134,6.\]
On peut en déduire que le prix du litre de gazole a augmenté de 34,6% entre ces deux dates.

Rem. L'indice de base 100 au temps $T_1$ de la valeur en $T_1$ est toujours 100.