Probabilités
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1. Langage des événements

1.1. Expérience aléatoire

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est lié uniquement au hasard et ne peut donc pas être connu à l’avance.

Tout résultat possible de l’expérience s’appelle une issue.

L’ensemble des issues s’appelle univers de l’expérience. On le note souvent Ω.

Exemple (fil rouge)

Soit ℰ l’expérience « on jette un dé et on note le numéro obtenu ».
Une issue possible est 3.
L’univers de ℰ est Ω={1;2;3;4;5;6}.

1.2. Événements

Déf. Un événement est un ensemble d’issues. On le note avec une lettre majuscule.
On dit que cet événement est réalisé si le résultat de l’expérience appartient à l’événement.

Ex. (fil rouge suite) Dans ℰ l’événement A « tirer un numéro impair » est A = {1;3;5}. L’événement B « tirer un nombre supérieur ou égal à 3 » est B = {3;4;5;6}.
Si l’on sort un 1 avec le dé, alors A est réalisé car 1∈A mais B ne l’est pas car 1∉B.

On peut représenter des événements à l’aide d’un diagramme de Venn comme ci-dessous.

Ex. (fil rouge, suite)

Rem. L’univers Ω est lui-même un événement : il représente l’événement certain.

Déf. Il existe un événement spécial qui ne contient aucune issue. On l'appelle événement impossible (ou événement vide). On le note ∅.

1.3. Opérations sur les événements

Soient $A$ et $B$ deux événements d’une expérience aléatoire donnée.

Déf.

L’événement formé de toutes les issues qui se trouvent dans $A$ ou dans $B$ s’appelle l’union de $A$ et $B$ et se note $A\cup B$.
L’événement formé des issues qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$ s’appelle intersection de $A$ et $B$ et se note $A\cap B$.
L’événement formé de toutes les issues qui ne sont pas dans $A$ s’appelle contraire de $A$ et se note $\overline A$.

Illustration avec des diagrammes de Venn

Ex. (fil rouge, suite)

$A\cup B = \{1\;;\;3\;;\;4\;;\;5\;;\;6\}$.
$A\cap B = \{3\;;\;5\}$.
$\overline A = \{2\;;\;4\;;\;6\}$.
$\overline B = \{1\;;\;2\}$.

Déf. Deux événements A et B sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas être réalisés en même temps, donc si A∩B = ∅.

Exercices
EX-01 EX-02 EX-03

2. Probabilité d’un événement

2.1. Probabilité et fréquence

La probabilité d’un événement est un nombre qui évalue « nos chances » d’obtenir cet événement.

On peut donc l’estimer en répétant un très grand nombre de fois cette expérience, et en calculant la fréquence de réalisation de l’événement.
On calcule donc :

La probabilité est le nombre que l'on obtiendrait en répétant infiniement cette expérience.

Déf. Soit $\Omega=\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$ l’univers de l’expérience aléatoire.
On définit une loi de probabilité sur $\Omega$ en attribuant à chaque issue $e_i$ (avec $1\le i \le n$) un nombre réel de l’intervalle $[0;1]$, appelé probabilité de $e_i$ et notée $P(e_i)$ tel que : \[P(e_1)+P(e_2)+\cdots+P(e_n)=1.\] La probabilité de tout événement $A$ est alors définie comme la somme des probabilités des issues qui le composent . \[A=\{e_1,\cdots,e_k\}\implies P(A)=P(e_1)+\cdots+P(e_k).\]

Exemple.

On dispose d’un dé pipé (truqué). Les probabilités d’obtenir chaque face sont données dans le tableau ci-dessous.

face	1	2	3	4	5	6
probabilité	0,15	0,20	0,10	0,17	0,13	?

La probabilité d’obtenir 3 est $P(3)=0,10$.
Soit $A$ l’événement « le nombre obtenu est au plus égal à 3 ». \[A = \{1,2,3\}\] Donc \[P(A)= 0,15+0,20+0,10 =0,45.\] La somme de toutes les probabilités doit être égale à 1, donc La probabilité d’obtenir 6 est : \[P(6)=1-0,15-0,2-0,1-0,17-0,13=0,25.\]

2.2. Équiprobabilité

Déf. On dit qu'on est en situation d'équiprobabilité si toutes les issues ont la même probabilité.

Prop. Soit une expérience aléatoire en situation d'équiprobabilité dont l'univers comporte $n$ issues.
Chaque issue a pour probabilité $\dfrac 1 n$.
Si un événement comporte $k$ issues, sa probabilité est $\dfrac k n$.

2.3. Probabilité d’une union

Prop. Soient $A$ et $B$ deux événements. Alors \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\]

Preuve. Pour calculer $P(A)+P(B)$, on additionne les probabilités des issues situées dans $A$ et des issues situées dans $B$.
Ce faisant, on a compté deux fois les probabilités des issues situées à la fois dans $A$ et dans $B$, qu'il faut donc enlever une fois.

Coro. Si $A$ et $B$ sont deux événements incompatibles (donc $A\cap B=\emptyset$) : \[P(A\cup B)=P(A)+P(B).\]

Preuve.

\[\begin{aligned} P(A\cup B) &= P(A) + P(B) - P(A\cap B)& \\ &=P(A) + P(B) - P(\emptyset)& \\ &=P(A) + P(B) + 0.& \end{aligned}\]

Coro. Pour tout événement $A$ : $P(\overline A) = 1 - P(A)$.

Preuve.

Sachant que $A$ et $\overline A$ sont incompatibles: \[\begin{aligned} P(A) + P(\overline A) &= P(A\cup \overline A)& \\ \iff P(A) + P(\overline A) &= P(\Omega)& \\ \iff P(A) + P(\overline A) &=1& \\ \iff P(\overline A) &= 1 - P(A).& \end{aligned}\]

Exercices corrigés.
EX-04 EX-05 EX-06 EX-07 EX-08 EX-09 EX-10 EX-11 EX-12 EX-13 EX-14 EX-15 EX-16

3. Techniques de dénombrement (exemples)

En probabilités, on est souvent amené à devoir dénombrer des issues. Nous rappelons en exemple deux méthodes de dénombrement classiques.

3.1. Tableau

Expérience : On jette simultanément deux dés équilibrés à six faces et on note la somme des points obtenus.
On cherche la probabilité de l’événement $A$ : « obtenir une somme égale à 5 ».
On peut modéliser cette expérience par le tableau à double entrée ci-dessous.

1^er dé↓ 2^e dé→	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Le tableau dénombre 36 issues équiprobables. On compte 4 issues donnant une somme égale à 5. Donc : \[P(A)=\frac{4}{36} = \frac 1 9.\]

3.2. Arbre de dénombrement

On jette trois fois de suite une pièce équilibré, en notant à chaque fois si elle tombe sur « pile » ou « face ».
$B$ est l’événement « obtenir au moins deux fois "pile" ».

On peut modéliser ces trois lancers par l’arbre ci-dessous.

Il permet de lister toutes les issues possibles (de gauche à droite) :
PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP et FFF.
Parmi ces 8 issues, 4 correspondent à deux ou trois piles obtenus. Donc \[P(B) = \frac 4 8 = \frac 1 2.\]

Exercices corrigés
EX-17 EX-18 EX-19 EX-20 EX-21 EX-22 EX-23 EX-24