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a.
Calculons les premiers termes de cette suite :
\[\begin{aligned}
w_0 &= 150\;;&
\\
w_1 &=0,75\times 150 + 30 = 142,5\;;&
\\
w_2 &=0,75\times 142,5 = 136,875\;;&
\\
w_3 &= 0,75 \times 136,875 \approx 132,66.&
\end{aligned}\]
Chaque terme semble inférieur au terme précédent. Cette suite pourrait bien être décroissante.
b.
Soit $\mathcal P(n)$ l'assertion «$w_n > w_{n+1}$».
-
$w_0 = 150$ et $w_1 = 142,5$, donc $\mathcal P(0)$ est vraie.
-
Supposons, pour $n$ quelconque donné, que $\mathcal P(n)$ est vraie.
\[\begin{aligned}
w_n &> w_{n+1}&
\\ \implies
0,75w_n &> 0,75w_{n+1}&
\\ \implies
0,75w_n + 30 &> 0,75w_{n+1} + 30&
\\ \implies
w_{n+1} &> w_{n+2}&
\end{aligned}\]
On a donc montré que pour tout entier naturel $n$:
\[\mathcal P(n) \implies \mathcal P(n+1).\]
-
Par récurrence, $\mathcal P(n)$ est donc vraie pour tout entier naturel $n$.
On en déduit que cette suite est bien décroissante.
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