retour
Soit $\mathcal P(n)$ l'assertion «$t_n = 1 - 3^n$»:;.
-
$1 - 3^0 = 1 - 1 = 0 = t_0$, donc $\mathcal P(0)$ est vraie.
-
Si, pour $n$ quelconque, on suppose $\mathcal P(n)$ vraie, alors
\[\begin{aligned}
t_n &= 1 - 3^n&
\\ \implies
3t_n &= 3(1-3^n) = 3 - 3^{n+1}&
\\ \implies
3t_n - 2 &= 3 - 3^{n+1} - 2 = 1 - 3^{n+1}&
\\ \implies
t_{n+1} &= 1 - 3^{n+1}.&
\end{aligned}\]
Donc si $\mathcal P(n)$ est vraie, $\mathcal P(n+1)$ l'est aussi.
-
Par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $\mathcal P(n)$ est donc vraie.
retour