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Soit l'assertion $\mathcal P(n)$: «$5^n \ge 4^n + 3^n$».
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$\mathcal P(2)$ est vraie car $3^2 + 4^2 = 25$ et $5^2 = 25$.
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Supposons, pour $n\ge 2$, que $\mathcal P(n)$ est vraie. Alors :
\[\begin{aligned}
5^n &\ge 4^n + 3^n&
\\ \implies
5\times 5^n &\ge 5(4^n + 3^n)&
\\ \implies
5^{n+1} &\ge 5\times 4^n + 5\times 3^n.&
\end{aligned}\]
Or
\[5 > 4 \implies 5\times 4^n > 4\times 4^n \implies 5\times 4^n > 4^{n+1}.\]
De même
\[5 > 3 \implies 5\times 3^n > 3\times 3^n \implies 5\times 3^n > 3^{n+1}.\]
Donc:
\[5\times 4^n + 5\times 3^n > 4^{n+1} + 3^{n+1}.\]
Finalement, on a donc bien
\[5^{n+1} \ge 4^{n+1} + 3^{n+1}.\]
L'assertion $\mathcal P(n)$ est héréditaire.
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Par récurrence, $\mathcal P(n)$ est donc vraie pour tout entier supérieur ou égal à 2.
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