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Notons $\mathcal P(n)$ l'assertion:
\[1\times 2 + 2\times 3 + \cdots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}3.\]
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$\mathcal P(1)$ est vraie car si $n = 1$:
\[1\times 2 = 2\]
et
\[\frac{n(n+1)(n+2)}{3} = \frac{1\times 2\times 3} 3 = 2.\]
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Supposons $\mathcal P(n)$ vraie et considérons la somme intervenant dans $\mathcal P(n+1)$
\[\begin{aligned}
&1\times 2 + 2\times 3 + \cdots + n(n+1) +{\color{Red}(n+1)(n+2)}&
\\
&=\underbrace{1\times 2 + 2\times 3 + \cdots + n(n+1)}_{\frac{n(n+1)(n+2)}3} + (n+1)(n+2)&
\\
&=\frac{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)(n+2)&
\\
&=\frac{n(n+1)(n+2)} 3 + \frac{3(n+1)(n+2)} 3&
\\
&=\frac{n{\color{Red}(n+1)(n+2)} + 3{\color{Red}(n+1)(n+2)}}3&
\\
&=\frac{(n+1)(n+2)[n+3]}3.&
\end{aligned}\]
Donc $\mathcal P(n+1)$ est vraie.
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Par récurrence, $\mathcal P(n)$ est donc vraie pour tout entier naturel non nul.
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