Corrigé du 93 P. 425
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1.
Le nombre $Q$ de questions auxquelles le candidat va répondre juste suit la loi binomiale
de paramètres $n=5$ et $p=\frac 1 4 = 0,25$.
On cherche donc:
\[P(Q\ge 3) = 1 - P(Q\le 2) \approx 1 - 0,8965 \approx 0,1035.\]
2. La probabilité, pour un candidat, d'avoir la note maximale est: \[P(Q = 5) = \left(\frac 1 4\right)^5 = \frac 1 {1024}.\] Donc, si $n$ candidats passent ce test, le nombre $C$ de candidats qui obtiendront la note maximale suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\frac 1 {1024}$.
2.a. La probabilité de l'événement «au moins un candidat obtient la note maximale» est: \[\begin{aligned} P(C\ge 1) &= 1 - P(C=0)& \\ &= 1 - \left(1 -\frac 1 {1024}\right)^n& \\ &= 1 - \left(\frac{1023}{1024}\right)^n.& \end{aligned}\] On veut donc le plus petit entier naturel $n$ tel que \[1-\left(\frac{1023}{1024}\right)^n > 0,99.\]
2.b. Variante 1. Si l'on n'a pas encore étudié la fonction logarithme népérien, on peut faire des essais à la calculatrice pour différentes valeurs de $n$. On finit par trouver que $n$ doit être au moins égal à 4714.
2.b. Variante 2. Si l'on a étudié la fonction logarithme népérien, on peut résoudre l'inéquation: \begin{align*} P(C \ge 1) &> 0,99& \\ \iff 1 - \left(\frac{1023}{1024}\right)^n &> 0,99& \\ \iff 1 - 0,99 &> \left(\frac{1023}{1024}\right)^n& \\ \iff 0,01 &> \left(\frac{1023}{1024}\right)^n& \\ \iff \ln 0,01 &> \ln\left(\frac{1023}{1024}\right)^n& \\ \iff \frac{\ln 0,01}{\ln(1023/1024)} &> n& \end{align*} Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln(1023/1024)}\approx 4713,39$, donc $n$ doit être au moins égal à 4714.
2.b. Variante 3. On rédige un programme Python pour répondre à la question comme celui ci-dessous:
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