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Notons $T$ l'événement «la pièce choisie est truquée». On a
\[P(T) = \dfrac 1 {1000}.\]
Notons $L$ l'événement «on a obtenu 10 fois "pile"».
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Si la pièce est truquée, alors $L$ est certain:
\[P_T(L) = 1.\]
-
Si la pièce n'est pas truquée, alors le nombre de piles obtenus suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac 1 2$.
Donc
\[P_{\overline T}(L) = \left(\frac 1 2\right)^{10} = \frac 1 {1024}.\]
Là je vous suggère de représenter la situation par un arbre, mais j'ai la flemme…
Selon la loi des probabilités totales:
\begin{align*}
P(L) &= P(L\cap T) + P(L\cap \overline T) &
\\
&= P(T)\times P_T(L) + P(\overline T)\times P_{\overline T}(L)&
\\
&=\frac 1 {1000} \times 1 + \frac {999}{1000} \times 1 {1024}&
\\
&=\frac{1024 + 999}{1024000}&
\\
&= \frac{2023}{1024000}.&
\end{align*}
Puisque l'on
sait que $L$ est réalisé, on cherche:
\[P_L(T) = \frac{P(L\cap T)}{P(L)}
=\frac{1/1000}{2023/1024000} = \frac {1024}{2023}
\approx 0,506.\]
Il y a donc à peine une chance sur deux que la pièce soit truquée.
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