Corrigé du 67 P. 75

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1.a. $\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =2\overrightarrow{EB}+2\overrightarrow{BI} =2\left(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BI}\right) =2\overrightarrow{EI}$.

1.b. $\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC} =2\overrightarrow{GD}+2\overrightarrow{DJ} =2\left(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DJ}\right) =2\overrightarrow{GJ}$.

2. On en déduit que $\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{GJ}$ et donc $EIJG$ est un parallélogramme.

3. Posons $\vec u = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$. On a: \[\vec u = \overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EB} +\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{JC} +\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{ID}\] Mais $\overrightarrow{EB}=-\overrightarrow{EA}$ et $\overrightarrow{JD}=-\overrightarrow{JC}$ donc: \[\begin{aligned} \vec u &= 2\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EA} +2\overrightarrow{OJ}+\overrightarrow{JC}-\overrightarrow{JC}& \\ &=2\overrightarrow{OE}+2\overrightarrow{OJ}& \\ &=2\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OJ}\right).& \end{aligned}\] $O$ est le milieu de $[EJ]$ donc $\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OJ}=\vec 0$.
On a donc bien $\vec u = 2\vec 0 = \vec 0$.

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