Corrigé du 111 P. 80

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1.a. Dans la base $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CG})$.
$\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{CB}$ donc $\overrightarrow{AD}(-1;0;0)$.
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CG}$ donc $\overrightarrow{AF}(0;-1;1)$.
$\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} =-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CG}$ donc $\overrightarrow{BG}(-1;0;1)$.
$\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GH} =-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ donc $\overrightarrow{FH}(-1;1;0)$.
$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE} =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CG}$ donc $\overrightarrow{CE}(1;1;1)$.

1.b. Dans la base $(\overrightarrow{HG},\overrightarrow{HD},\overrightarrow{HE})$.
$\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{HE}$ donc $\overrightarrow{AD}(0;0;-1)$.
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF} =-\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HG}$ donc $\overrightarrow{AF}(1;-1;0)$.
$\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} =-\overrightarrow{HE}-\overrightarrow{HD}$ donc $\overrightarrow{BG}(0;-1;-1)$.
$\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EH} =-\overrightarrow{HG}-\overrightarrow{HE}$ donc $\overrightarrow{FH}(-1;0;-1)$.
$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE} =-\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{HE}-\overrightarrow{HD}$ donc $\overrightarrow{CE}(-1;-1;1)$.

1.c. Dans la base $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BF})$.
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ donc $\overrightarrow{AD}(1;0;0)$.
$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BF} =\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BF}$ donc $\overrightarrow{AF}(1;-1;1)$.
$\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} =\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}$ donc $\overrightarrow{BG}(1;0;1)$.
$\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{BD}$ donc $\overrightarrow{FH}(0;1;0)$.
$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA} +\overrightarrow{AE} =-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}$
$=-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BF}$ donc $\overrightarrow{CE}(-2;1;1)$.

2.a. Dans le repère $(C;\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CG})$:
$\overrightarrow{CC}=\vec 0$ donc $C(0;0;0)$.
$\overrightarrow{CD}=1\overrightarrow{CD}$. Donc $D(0;1;0)$.
$\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DH} =\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CG}$. Donc $H(0;1;1)$.
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BF} =\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CG}$. Donc $F(1;0;1)$.
$\overrightarrow{CG}=1\overrightarrow{CG}$. Donc $G(0;0;1)$.

2.b. Dans le repère $(H;\overrightarrow{HG},\overrightarrow{HD},\overrightarrow{HE})$:
$\overrightarrow{HC} =\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GC} =\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{HD}$. Donc $C(1;1;0)$.
$\overrightarrow{HD} = 1\overrightarrow{HD}$. Donc $D(0;1;0)$.
$\overrightarrow{HH} = \vec 0$. Donc $H(0;0;0)$.
$\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EF} =\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{HG}$. Donc $F(1;0;1)$.
$\overrightarrow{HG} =1\overrightarrow{HG}$. Donc $G(1;0;0)$.

2.c. Dans le repère $(B;\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BF})$:
$\overrightarrow{BC}=1\overrightarrow{BC}$. Donc $C(1;0;0)$.
$\overrightarrow{BD} =1\overrightarrow{BD}$. Donc $D(0;1;0)$.
$\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DH} =\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BF}$. Donc $H(0;1;1)$.
$\overrightarrow{BF}=1\overrightarrow{BF}$. Donc $F(0;0;1)$.
$\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG} =\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BF}$. Donc $G(1;0;1)$.

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