-
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 + x + 1$;
Corrigé
\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^2 = \displaystyle\lim_{x\to+\infty} x = +\infty\]
donc
\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2 + x + 1 = +\infty.\]
-
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^2 + x + 1$;
Corrigé
Pour tout réel $x$,
\[x^2 + x + 1 = x^2\left(1+\dfrac 1 x + \dfrac 1 {x^2}\right).\]
Or, d'une part :
\[\begin{aligned}
&\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac 1 x = \lim_{x\to-\infty} \dfrac 1 {x^2} = 0&
\\
\implies &\displaystyle\lim_{x\to-\infty} 1 + \dfrac 1 x + \dfrac 1 {x^2} = 1.&
\end{aligned}\]
et d'autre part :
\[\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^2 = +\infty.\]
Donc :
\[\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^2\left(1+\dfrac 1 x + \dfrac 1 {x^2}\right)=+\infty.\]
-
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2}{x+1}$;
Corrigé
\[\begin{aligned}
&\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x + 1= +\infty&
\\ \implies
&\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{-2}{x+1} = -\infty.&
\end{aligned}\]
-
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4x+1}{-2x+1}$;
Corrigé
Pour tout réel $x\neq 0$:
\[\dfrac{4x+1}{-2x+1}
=\dfrac{x\left(4+\frac 1 x\right)}{x\left(-2+\frac 1 x\right)}
=\dfrac{4+\frac 1 x}{-2+\frac 1 x}.\]
Or
\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac 1 x = 0\]
donc
\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{4+\frac 1 x}{-2+\frac 1 x} = \dfrac{4}{-2} = -2.\]
-
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \mathrm e^x - x$;
Corrigé
\[\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \mathrm e^x = 0\]
et
\[\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x = -\infty\]
donc
\[\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \mathrm e^x - x = +\infty.\]
-
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \mathrm e^x - x$.
Corrigé
Pour tout réel $x$ non nul
\[\mathrm e^x - x = x\left(\dfrac{\mathrm e^x}x - 1\right).\]
Or d'après le cours
\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\mathrm e^x}x = +\infty\]
donc
\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\mathrm e^x} x - 1 = +\infty.\]
De plus
\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x = +\infty\]
donc finalement
\[\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x\left(\dfrac{\mathrm e^x} x - 1\right) = +\infty.\]