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À l'aide d'un calcul de limite, déterminer si la fonction proposée est dérivable en $a$; si oui, donner
la valeur du nombre dérivé en $a$.
a.
$f:\ x\mapsto -3x + 1$ en $a= 1$;
Corrigé
Pour tout $h$ non nul :
\begin{align*}
\frac{f(a+h) - f(a)}{h}
&=\frac{f(1+h) - f(1)}{h}&
\\
&=\frac{-3(1+h) + 1 - (-3\times 1 + 1)} h&
\\
&=\frac{-3-3h +1 + 2}{h}&
\\
&=\frac{-3h} h&
\\
&=-3.&
\end{align*}
Donc
\[\lim_{h\to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = -3.\]
La fonction $f$ est dérivable en 1 et $f'(1) = -3$.
b.
$g:\ x\mapsto 3x^2 - 4$ en $a=2$.
Corrigé
Pour $h\neq 0$:
\begin{align*}
\frac{g(a+h) - g(a)}{h}
&=\frac{g(2+h) - g(2)}{h}&
\\&=\frac{3(2+h)^2 - 4 - (3\times 2^2 - 4)}{h}&
\\
&=\frac{3(4+4h+h^2) - 4 - 8} h&
\\&=\frac{12 + 12h + 3h^2 - 12} h&
\\&=\frac{12h + 3h^2} h&
\\
&=\frac{h(12+3h)} h&
\\&=12 + 3h.&
\end{align*}
On en déduit que:
\[\lim_{h\to 0} \frac{g(2+h) - g(2)} h = \lim_{h\to 0} 12 + 3h = 12+3\times 0 = 12.\]
La fonction $g$ est donc dérivable en $2$ avec $g'(2) = 12$.
c.
$k:\ x\mapsto x^2 +7x - 3$ en $a=3$.
Corrigé
Pour tout $h\neq 0$:
\begin{align*}
k(3+h) &= (3+h)^2 + 7(3+h) - 3&
\\&= 9 + 6h + h^2 + 21 + 7h - 3&
\\&= h^2 + 13h + 27.&
\end{align*}
Et
\[k(3) = 3^2 + 7\times 3 -3 = 27.\]
Donc :
\begin{align*}
\frac{k(3+h) - k(3)}{h}
&=\frac{h^2 + 13h + 27 - 27}{h}&
\\&=\frac{h^2 + 13h}{h}&
\\&=\frac{h(h + 13)}{h}&
\\&= h + 13.&
\end{align*}
Alors :
\[\lim_{h\to 0} \frac{k(3+h) - k(3)}{h} = \lim_{h\to 0} h + 13 = 13.\]
d.
$u:\ x\mapsto \sqrt{x-2}$ en $a= 2$.
Corrigé
Pour $h\neq 0$:
\begin{align*}
\frac{u(2+h) - u(2)} h
&=\frac{\sqrt{2+h - 2} - \sqrt{2 - 2}} h&
\\&=\frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{\sqrt{h}}{\left(\sqrt h\right)^2}&
\\&=\frac 1 {\sqrt h}.&
\end{align*}
Si $h$ est très proche de 0, il en va de même pour $\sqrt h$. L'inverse d'un nombre proche de 0 étant très grand, on a ici:
\[\lim_{h\to 0} \frac{u(2+h) - u(2)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac 1 {\sqrt h} = +\infty.\]
Cette limite n'est pas un nombre, donc la fonction $u$ n'est pas dérivable en $2$.
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