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Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R^*$ par
\[f(x) = \dfrac{(1 - x)\left(1- \mathrm{e}^x\right)}{x}.\]
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Affirmation 1.
$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.
Réponse
Justification
Faux.
Remarquons que :
\[f(x) = (1-x)\frac{1-\mathrm e^x} x.\]
Or d'après le cours:
\[\lim_{x\to 0}\frac{\mathrm e^x - 1} x = 1
\implies
\lim_{x\to 0}\frac{1-\mathrm e^x} x = - 1.\]
D'autre part,
\[\lim_{x\to 0} 1-x = 1.\]
Donc
\[\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{(1-x)(1-\mathrm e^x)} x= 1\times(-1) = -1.\]
Affirmation 2.
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 1$.
Réponse
Justification
Faux.
Développons l'expression de $f$:
\[f(x) = \frac{1 - \mathrm e^x - x + x\mathrm e^x}x =
\frac 1 x - \frac{\mathrm e^x} x - 1 + \mathrm e^x.\]
Or si $x$ tend vers $-\infty$, $\mathrm e^x$ tend vers $0$ par valeurs posiitves, donc
\[\lim_{x\to -\infty}\frac{\mathrm e^x} x = -\infty.\]
Sachant que $\frac 1 x$ tend vers $0$, on a alors:
\[\lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty.\]
On appelle $g$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par :
- $g(x) = f(x)$ si $x \neq 0$;
- $g(0) = - 1$.
Affirmation 3.
La fonction $g$ est continue sur $\mathbb R$
Réponse
Justification
Vrai.
Puisque $f(x)$ tend vers $-1$ lorsque $x$ tend vers $0$ et que $f(0) =-1$,
la fonction $g$ est continue en $0$, et donc finalement continue sur $\mathbb R$.
Affirmation 4.
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} ( n -1 )\left(1 - \mathrm{e}^{\frac{1}{n}}\right) = - 1$.
Réponse
Justification
Vrai.
Posons $x=\dfrac 1 x$. Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, $x$ tend vers $0$ et pour $n\neq 0$:
\[\begin{aligned}
(n-1)\left(1-\mathrm e^{\frac 1 n}\right)
&=\left(\frac 1 x - 1\right)\left(1- \mathrm e^x\right)&
\\
&=\frac{(1-x)\left(1-\mathrm e^x\right)}x&
\\
&= f(x).&
\end{aligned}\]
Or on a vu plus haut que $f(x)$ tend vers $-1$ lorsque $x$ tend vers $0$.
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