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Dans le plan muni d'un repère, on donne les points
\[A(4;2),\quad B(-2;1),\quad C(-3;5).\]
$M$ est le point défini par
\[\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}.\]
Calculer les coordonnées du point $M$.
Corrigé
\[
\begin{cases}
x_B - x_A = -2-4 = -6\\
y_B - y_A = 1 - 2 = -1
\end{cases}
\implies
\overrightarrow{AB}\binom{-6}{-1}
\]
\[\begin{cases}
x_C - x_A = -3-4 = -7\\
y_C - y_A = 5 - 2 = 3
\end{cases}
\implies
\overrightarrow{AC}\binom{-7}{3}\]
Alors l'égalité
\[\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}\]
se traduit par
\[\begin{aligned}
&\begin{cases}
x_M - 4 = 3 \times (-6) + 2\times (-7)\\
y_M - 2 = 3\times (-1) + 2\times 3
\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}
x_M - 3 = -32\\
y_M -2 = 3
\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}
x_M = -32+3\\
y_M = 3 + 2
\end{cases}&
\\ \iff
&\begin{cases}
x_M = -29\\
y_M = 5
\end{cases}&
\\ \iff
&M\binom{-29}{5}.&
\end{aligned}\]
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