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Indiquer si chaque suite donnée ci-dessous, définie pour tout entier naturel $n$, est géométrique ou non.
Justifier la réponse.
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$u_n = n^3$.
Corrigé
\[u_0 = 0^3 = 0;\quad u_1 = 1^3 = 1.\]
Il n'existe aucun réel $q$ tel que
\[u_1 = qu_0 \iff 1 = q\times 0.\]
Donc la suite $(u_n)$ ne peut pas être géométrique.
-
$v_n= 2+ 3n$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
v_0 &= 2+3\times 0 = 2\;;&
\\
v_1 &= 2+3\times 1 = 5\;;&
\\
v_2 &= 2+3\times 2 = 8.&
\end{aligned}\]
Si la suite $(v_n)$ était géométrique, il existerait un (unique) réel $q$ tel que :
\[\begin{aligned}
v_1 = qv_0 &\implies \frac{v_1}{v_0} = q \implies q = \frac 5 2\;;&
\\
v_2 = qv_1 &\implies \frac{v_2}{v_1} = q \implies q = \frac{8} 5.&
\end{aligned}\]
Puisque
\[\frac{5}{2} \neq \frac{8} 5\]
un tel réel n'existe pas. La suite $(v_n)$ ne peut pas être géométrique.
(par contre cette suite est arithmétique de raison $r=3$ et de premier terme $v_0 = 2$.)
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$w_n=\dfrac{2^n}{3^{n+1}}$.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$:
\[w_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{3^{n+1+1}} = \frac{2 \times 2^n}{3\times 3^{n+1}}
=\frac 2 3 \times \frac{3^{n+1}}{2^n}
=\frac 2 3 w_n.\]
La suite $(w_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac 2 3$.
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$t_n = 2n$.
Corrigé
$t_0 = 0$ et $t_1 = 2$. Il ne peut donc pas exister de réel $q$ tel que
\[t_1 = qt_0 \iff 1 = q\times 0.\]
La suite $(t_n)$ ne peut donc pas être géométrique.
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