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On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par
\[v_n = \frac{2^n} 3.\]
-
Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
Préciser son premier terme et sa raison.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$ :
\[v_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{3}
= \frac{2\times 2^n}{3}
=2\times \frac{2^n} 3
=2v_n.\]
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q=2$.
Son premier terme est :
\[v_0 = \frac{2^0}3 = \frac 1 3.\]
-
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[\left(v_{n+1}\right)^2 = v_n \times v_{n+2}.\]
Corrigé
\begin{align*}
v_n \times v_{n+2}
&=\frac{2^n} 3 \times \frac{2^{n+2}} 3&
\\
&=\frac{2^n\times 2^{n+2}} {3\times 3}&
\\
&=\frac{2^{n+n+2}}{3^2}&
\\
&=\dfrac{2^{2n+2}}{3^2}&
\\
&=\frac{2^{2(n+1)}}{3^2}&
\\
&=\frac{\left(2^{n+1}\right)^2}{3^2}&
\\
&=\left(\frac{2^{n+1}}{3}\right)^2&
\\
&=\left(v_{n+1}\right)^2.&
\end{align*}
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