EX-01

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On donne ci-dessous la courbe $\mathscr C_f$ d'une fonction $f$ définie sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$.

Courbe d'une fonction

1. Conjecturer, à partir de cette représentation graphique, les limites suivantes: \[\lim_{x\to -\infty} f(x);\quad \lim_{x\to+\infty} f(x);\quad \lim_{\substack{x\to-2\\x < -2}} f(x) \quad\text{et}\quad \lim_{\substack{x\to -2\\x > -2}} f(x).\]

Corrigé
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=1$; $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0$; $\displaystyle\lim_{\substack{x\to -2\\x<-2}} = +\infty$; $\displaystyle\lim_{\substack{x\to-2\\x>-2}}= -\infty$.

Dans la suite, on considère admises ces conjectures.

2. Donner les équations des asymptotes à $\mathscr C_f$.

Corrigé
$y = 0$, $y=1$ et $x=-2$ sont les équations des trois asymptotes à $\mathscr C_f$.

3. $g$ est la fonction définie sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ par $g(x) = \dfrac 1 {f(x)}$.

a. Donner: \[\lim_{x\to -\infty} g(x);\quad \lim_{x\to +\infty} g(x) \quad\text{et}\quad \lim_{\substack{x\to-2\\x>-2}} g(x).\]

Corrigé
$\displaystyle\lim_{x_to-\infty} g(x) = \frac 1 1 = 1$; $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) = \frac 1 {0^-} = -\infty$; $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2\\x<-2}} g(x) = \frac 1 {(-\infty)} = 0$.

b. La fonction $g$ admet-elle une limite en $-2$? Justifier votre réponse.

Corrigé
On a de plus: $\displaystyle\lim_{\substack{x\to-2\\x>-2}} = \frac 1 {(+\infty)} = 0$.
Donc la fonction $g$ admet bien une limite en $-2$ car
$\displaystyle\lim_{\substack{x\to-2\\x<-2}} g(x) = \displaystyle\lim_{\substack{x\to-2\\x>-2}} g(x) = \displaystyle\lim_{x\to-2} g(x) = 0$.

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code : 1861