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Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par
\[u_n = n + \sin(n).\]
Déterminer la limite de cette suite.
Corrigé
On sait que pour tout entier naturel $n$
\[\begin{aligned}
&-1\le \sin(n)\le 1&
\\ \implies
&n - 1 \le n + \sin(n)\le n + 1&
\end{aligned}\]
Sachant que
\[\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n - 1 = +\infty\]
et que pour tout entier naturel
\[n-1\le u_n\]
on en déduit que
\[\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty.\]
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