Utiliser des théorèmes de comparaison pour déterminer la limite de la suite $(u_n)$ si :
-
$u_n = \dfrac{\cos n}{n}$ ;
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$,
\[-1\le \cos n \le 1.\]
Donc
\[-\dfrac 1 n \le \dfrac{\cos n} n\le \dfrac 1 n.\]
Or $-\dfrac 1 n$ et $\dfrac 1 n$ tendent tous deux vers 0, donc par encadrement (th. "des gendarmes"),
\[\lim_{n\to+\infty} \dfrac{\cos n} n = 0.\]
-
$u_n = n + \sin n$ ;
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$,
\[\sin n \ge -1\]
donc
\[n+\sin n \ge n - 1.\]
Or $n-1$ tend vers $+\infty$, donc par comparaison
\[\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty.\]
-
$u_n = -n^2 + (-1)^n$ ;
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$,
\[(-1)^n \le 1\]
donc
\[-n^2+(-1)^n \le -n^2+1.\]
Or
$-n^2+1$ tend vers $-\infty$ donc
\[\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty.\]
-
$u_n = -3n^2 + 3\cos\left(\dfrac 1 n\right)$.
Corrigé
Pour tout entier $n$ non nul,
\[\cos\left(\dfrac 1 n\right)\le 1\]
donc
\[3\cos\left(\dfrac 1 n\right)\le 3.\]
On en déduit que
\[u_n \le -3n^2 + 3.\]
Or
\[\lim_{n\to+\infty} -3n^2+3 = -\infty\]
donc il en va de même pour $(u_n)$ :
\[\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty.\]