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Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies ci-dessous sont bornées.
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$(u_n)$ telle que
\[\forall n\in\mathbb N,\quad u_n = 3+\cos n\;;\]
Corrigé
Pour tout $n\in\mathbb N$ :
\[\begin{aligned}
-1 &\le \cos n \le 1&
\\ \implies
3-1 &\le 3+ \cos n \le 3 + 1&
\\ \implies
2 &\le u_n \le 4.&
\end{aligned}\]
La suite $(u_n)$ est donc bien minorée par 2 et majorée par 4, donc elle est bornée.
-
$(v_n)$ est définie par
\[\forall n\in \mathbb N,\quad v_n = 5 - 3\times (-1)^n.\]
Corrigé
Pour tout $n\in\mathbb N$:
\begin{align*}
-1 &\le (-1)^n \le 1&
\\ \implies
3\times (-1) &\le 3\times (-1)^n \le 3 \times 1&
\\ \implies
5 - 3 &\le 5 - 3\times (-1)^n \le 5 + 3&
\\ \implies
2 &\le v_n \le 8.&
\end{align*}
Donc la suite $(v_n)$ est bien bornée par 2 et 8.
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