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Un groupe de biologistes étudie la population de grenouilles autour d'un étang.
Au 1^ier janvier 2020, ils ont comptabilisé 250 individus.

Le modèle de Verhulst, usuel en biologie, conduit à modéliser le nombre de grenouilles par la fonction $P$ définie par \[P(t) = \frac{a}{0,4+3,6\mathrm e^{-0,5t}}\] où $a$ est un réel constant et $t$ désigne le temps écoulé, en année, depuis le 1^ier janvier 2020.

1. Déterminer la valeur du réel $a$ grâce aux données de l'énoncé.
   Corrigé
   D'après la consigne, $P(0) = 250$, donc : \[\begin{aligned} &\frac a {0,4 + 3,6\mathrm e^{0}} = 250& \\ \iff &\frac a 4 = 250& \\ \iff &a = 250 \times 4 = 1000.& \end{aligned}\]
2. Déterminer la limite de $P$ en $+\infty$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
   Corrigé
   $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} -0,5t = -\infty$ donc $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} \mathrm e^{-0,5t} = 0$ et donc finalement $\displaystyle\lim_{t\to+\infty} \dfrac{250}{0,4+3,6\mathrm e^{-0,5t}} = \dfrac{1000}{0,4} = 2500$. \\ A long terme, la population de grenouilles devrait se stabiliser autours de 2500 individus.
3. Établir les variations de $P$.
   Corrigé 1 Corrigé 2
   La fonction $P$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et pour tout $t$ de cet intervalle \[P'(t) = - \frac{3,6\left(-0,5\mathrm e^{-0,5t}\right)\cdot 1000}{\left(0,4+3,6\mathrm e^{-0,5t}\right)^2} =\frac{1800\mathrm e^{-0,5t}}{\left(0,4+3,6\mathrm e^{-0,5t}\right)^2}.\] Le carré au dénominateur est strictement positif, et puisqu'une exponentielle est aussi strictement positive, le numérateur l'est aussi.
   Puisque $P'$ est strictement positive, la fonction $P$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
   Soient $t_1$ et $t_2$ deux réels positifs. Puisque $-0,5$ est négatif : \[t_1 < t_2 \implies -0,5t_1 > -0,5t_2.\] La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb R$ donc \[-0,5t_1 < -0,5t_2 \implies \mathrm e^{-0,5t_1} > \mathrm e^{-0,5t_2} > 0.\] La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$, donc : \[\mathrm e^{-0,5t_1} > \mathrm e^{-0,5t_2} > 0 \implies \frac 1 {\mathrm e^{-0,5t_1}} < \frac 1 {\mathrm e^{-0,5t_2}}.\] Enfin, puisque 1000 est strictement positif : \[\frac 1 {\mathrm e^{-0,5t_1}} < \frac 1 {\mathrm e^{-0,5t_2}} \implies \frac {1000}{\mathrm e^{-0,5t_1}} < \frac {1000}{\mathrm e^{-0,tx_2}}.\] Résumons : Pour tous réels positifs $t_1$ et $t_2$ : \[t_1 < t_2 \implies P(t_1) < P(t_2).\] Cela prouve que la fonction $P$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
4. Recopier et compléter le programme suivant, écrit en Python, pour déterminer en quelle année la population de grenouilles dépassera pour la première fois 2000 individus.
    
   
   Corrigé
   

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