Pour tout réel $x$ : \[\begin{aligned} &-1 \le \cos(x) \le 1& \\ \implies &-1-2 \le \cos(x) - 2 \le 1- 2& \\ \implies &-3 \le \cos(x) - 2 \le -1.& \end{aligned}\] Tous les nombres ici sont de même signe (négatif) donc \[\begin{aligned} &-3 \le \cos(x) - 2 \le -1& \\ \implies &\frac 1 {-3} \ge \frac 1 {\cos(x) -2} \ge \frac 1 {-1}& \\ \implies &\frac 1 {-1} \le \frac 1 {\cos(x) - 2} \le \frac 1 {-3}.& \end{aligned}\] D'autre part, \[x\ge 0 \implies 2x \ge 0 \implies 2x + 3\ge 3 \implies 2x + 3>0.\] Donc le produit par $(2x+3)$ ne change pas le sens de l'encadrement \[\begin{aligned} &\frac 1 {-1} \le \frac 1 {\cos(x) - 2} \le \frac 1 {-3}& \\ \implies &\frac{2x+3}{-1} \le \frac{2x+3}{\cos(x) - 2} \le \frac{2x+3}{-3}.& \end{aligned}\]

D'une part \[\displaystyle\lim_{x\to+\infty} 2x + 3 = +\infty\] donc \[\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{2x+3}{-3} = -\infty.\] D'autre part, pour tout $x\ge 0$ : \[f(x) \le \dfrac{2x+3}{-3}.\] Donc, par comparaison, \[\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty.\]