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Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par :
\[f(x) = \frac{-2x^2 + 1}{x - 1}.\]
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Calculer l'éventuelle limite de la fonction $f$ en 1.
Corrigé
La fonction $x\mapsto -2x^2+1$ étant continue sur $\mathbb R$, donc en particulier en 1 :
\[\lim_{x\to 1} -2x^2 + 1 = -2\times 1 + 1 = -1.\]
Si $x$ est inférieur à 1 alors $x-1$ est négatif. Donc
\[\lim_{\substack{x\to 1\\x<1}} x - 1 = 0^-\]
On en déduit que
\[\lim_{\substack{x\to 1\\x < 1}} \frac{-2x^2+1}{x-1} = \frac{-1}{0^-} = +\infty.\]
Par contre si $x$ est supérieur à 1, $x-1$ est positif donc
\[\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}} x - 1 = 0^+\]
On en déduit que
\[\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}} \frac{-2x^2+1}{x-1} = \frac{-1}{0^+} = -\infty.\]
Les limites à gauche et à droite étant distinctes, $f$ n'admet pas de limite (tout court) en 1.
-
Calculer l'éventuelle limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Corrigé
Pour tout $x$ différent de 0 ou 1 :
\[\frac{-2x^2+1}{x-1} = \frac{x^2\left(-2 + \frac 1 {x^2}\right)}{x\left(1-\frac 1 x\right)}
=\frac{x\left(-2+\frac 1 {x^2}\right)}{1-\frac 1 x}.\]
Or
\[\lim_{x\to+\infty}\frac 1 {x^2} = 0 \implies
\lim_{x\to+\infty} -2 + \frac 1 {x^2} = -2\]
Sachant de plus que
\[\lim_{x\to+\infty} x = +\infty\]
On en déduit que
\[\lim_{x\to+\infty} x\left(-2 + \frac 1 x\right) = (+\infty)\times -2 = -\infty.\]
Du côté du numérateur
\[\lim_{x\to +\infty} \frac 1 x = 0 \implies \lim_{x\to+\infty} 1 - \frac 1 x = 1.\]
Finalement
\[\lim_{x\to+\infty} \frac{x\left(-2+\frac 1 {x^2}\right)}{1 - \frac 1 x} = \frac{-\infty}{1} = -\infty.\]
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