EX-06
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Soit $f$ la fonction définie sur $\mathscr D_f = ]-\infty;2[\cup]2;+\infty[$ par : \[f(x) = \frac{x+2}{3x - 6}.\]
1.
a.
Étudier le signe de $f$ sur $]-\infty;2[$.
Corrigé
On peut réaliser le tableau de signes suivant :
b.
Déterminer $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2\\x<2}} f(x)$.
Corrigé
Sachant que
\[\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2\\x<2}} 3x - 6 = 0^-\]
et que
\[\displaystyle\lim_{x\to 2} x +2 = 4\]
on en déduit que
\[\displaystyle\lim_{\substack{x\to 2\\x<2}} \dfrac{x+2}{3x-6} = \dfrac{+4}{0^-} = -\infty.\]
c.
Donner une interprétation graphique de ce résultat.
Corrigé
Graphiquement, cela se traduit par le fait que la droite d'équation $x = 2$
est une asymptote verticale à la courbe de $f$.
2.
Déterminer les limites aux infinis de $f(x)$ et interpréter graphiquement le résultat.
Corrigé
Pour $x\notin\{-2\;;\;0\}$:
\[f(x) = \frac{x+2}{3x-6}
= \frac{x\left(1+\frac 2 x\right)}{x\left(3-\frac 6 x\right)}
=\frac{1+\frac 2 x}{3-\frac 6 x}.\]
Alors, de
\[\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} \dfrac 2 x = \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} \dfrac 6 x = 0\]
on déduit que
\[\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} 1 + \dfrac 2 x = 1\]
et que
\[\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} 3 - \dfrac 6 x = 3.\]
Alors finalement
\[\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} \dfrac{1+ \frac 2 x}{3 - \frac 6 x} = \dfrac 1 3.\]
Cela implique que la droite d'équation $y = \dfrac 1 3$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$.
Cela implique que la droite d'équation $y = \dfrac 1 3$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$.
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code : 225