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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par
\[f(x) = x\mathrm{e}^{x - 1} + 1.\]
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$.
Partie A : étude de la fonction
1.
Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
Corrigé
Pour tout réel $x$, on peut écrire que
\[x\mathrm e^{x-1} + 1 = x\mathrm e^x \cdot \mathrm e^{-1}+1.\]
Or d'après le cours
\[\lim_{x\to-\infty} x\mathrm e^{x} = 0.\]
Donc
\[\lim_{x\to-\infty} x\mathrm e^x \cdot \mathrm e^{-1} + 1 = 0\times \mathrm e^{-1}+1 = 1.\]
On en déduit que la droite d'équation $y = 1$ est une asymptote horizontale à $\mathscr C$.
2.
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Corrigé
D'une part
\[\lim_{x\to+\infty} x-1 = +\infty
\implies
\lim_{x\to+\infty} \mathrm e^{x-1} = +\infty.\]
D'autre part
\[\lim_{x\to+\infty} x = +\infty.\]
Donc:
\[\lim_{x\to+\infty}x\mathrm e^{x-1} + 1 = (+\infty)\times(+\infty) + 1 = +\infty.\]
3.
On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb R$, et on note $f'$ sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout réel $x$,
\[f'(x) = (x + 1)\mathrm{e}^{x - 1}.\]
Corrigé
Pour tout réel $x$
\[\begin{aligned}
f'(x) &= 1\cdot \mathrm e^{x-1} + x\left(1\mathrm e^{x-1}\right) + 0&
\\
&=\mathrm e^{x-1} + x\mathrm e^{x-1}&
\\
&=(x+1)\mathrm e^{x+1}.&
\end{aligned}\]
4.
Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb R$ et dresser son tableau de variation sur $\mathbb R$.
Corrigé
Puisque l'exponentielle $\mathrm e^{x-1}$ est strictement positive pour tout réel $x$, $f'(x)$ est du signe de $x+1$.
On en déduit le tableau de variation suivant
\[\begin{array}{l|lcccr}
x &-\infty &\qquad&-1&\qquad&+\infty \\ \hline
f'(x)&&-&0&+& \\ \hline
&1& & & &+\infty\\
f & &\searrow & &\nearrow & \\
& & &0& & \\
\end{array}\]
Avec
\[f(-1) = -1\cdot\mathrm e^{0} +1 = \mathrm -e^0 +1 = -1+1 = 0.\]
Partie B : recherche d'une tangente particulière
Soit $a$ un réel strictement positif.
Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$
qui passe par l'origine du repère.
1.
On appelle $T_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$.
Donner une équation de $T_{a}$.
Corrigé
Sachant que
\[\begin{aligned}
f(a) &=a\mathrm e^{a-1} + 1\;;&
\\
f'(a)&=(a+1)\mathrm e^{a-1}\;;&
\end{aligned}\]
l'équation de $T_a$ est
\[\begin{aligned}
y &=f'(a)(x-a) + f(a)&
\\ \iff
y&=(a+1)\mathrm e^{a-1}(x-a) + a\mathrm e^{a-1} + 1&
\\ \iff
y&=(a+1)\mathrm e^{a-1}x -a(a+1)\mathrm e^{a-1} + a\mathrm e^{a-1} + 1&
\\ \iff
y&=(a+1)\mathrm e^{a-1} - a^2\mathrm e^{a-1} - a\mathrm e^{a-1}+ a\mathrm e^{a-1} + 1&
\\ \iff
y&= (a+1)\mathrm e^{a-1}x -a^2\mathrm e^{a-1} + 1.&
\end{aligned}\]
2.
Démontrer qu'une tangente à $\mathcal{C}$ en un point d'abscisse $a$ strictement positive passe par l'origine du repère
si et seulement si $a$ vérifie l'égalité
\[1 - a^2\mathrm{e}^{a-1} = 0.\]
Corrigé
l'équation de $T_a$ est
\[\begin{aligned}
y &=f'(a)(x-a) + f(a)&
\\ \iff
y&=(a+1)\mathrm e^{a-1}(x-a) + a\mathrm e^{a-1} + 1&
\\ \iff
y&=(a+1)\mathrm e^{a-1}x -a(a+1)\mathrm e^{a-1} + a\mathrm e^{a-1} + 1&
\\ \iff
y&=(a+1)\mathrm e^{a-1} - a^2\mathrm e^{a-1} - a\mathrm e^{a-1}+ a\mathrm e^{a-1} + 1&
\\ \iff
y&= (a+1)\mathrm e^{a-1}x -a^2\mathrm e^{a-1} + 1.&
\end{aligned}\]
3.
Démontrer que $1$ est l'unique solution sur l'intervalle $]0;+\infty[$ de l'équation
\[1 - x^2\mathrm{e}^{x-1} = 0.\]
Indication
Il faut montrer que :
- que 1 est bien solution ;
- que cette équation n'a qu'une seule solution.
Considérons la fonction $\varphi$, définie sur $[0;+\infty[$ par
\[\varphi(x) = 1 - x^2\mathrm e^{x-1}\]
$x$ sera solution de l'équation demandée si et seulement $\varphi(x) = 0$.
Cette fonction est dérivable sur $[0;+\infty[$ et pour tout réel $x$ de cet intervalle
\[\begin{aligned}
\varphi(x) &= 0 - \left[2x\mathrm e^{x-1} + x^2(1\cdot\mathrm e^{x-1})\right]&
\\
&=-2x\mathrm e^{x-1} - x^2\mathrm e^{x-1}&
\\
&=(-2x-x^2)\mathrm e^{x-1}.&
\end{aligned}\]
Puisque $x$ et $x^2$ sont positifs, il est clair que $-2x-x^2$ est négative et elle ne s'annule
qu'en $0$. Donc $\varphi'$ est négative et ne s'annule qu'en $0$, donc $\varphi$ est strictement décroissante.
Par conséquent, l'équation $\varphi(x) = 0$ ne peut pas admettre plus d'une solution dans $[0;+\infty[$.
Or
\[\varphi(1) = 1 - 1^2\mathrm e^{1-1} = 1 - 1\times 1 = 0.\]
\\
Donc l'équation $\varphi(x)=0$ admet pour solution unique le réel $1$.
4.
Donner alors une équation de la tangente recherchée.
Corrigé
D'après la question précédente, la seule tangente passant par l'origine est la tangente au point d'abscisse $a=1$, dont l'équation est donc
\[\begin{aligned}
y&= (1+1)\mathrm e^{1-1}x -1^2\mathrm e^{1-1} + 1&
\\ \iff
y&=2\mathrm e^0x - \mathrm e^0 + 1&
\\ \iff
y&=2x-1+1&
\\ \iff
y&=2x.&
\end{aligned}\]
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