EX-21

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Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par \[f(x) = (x+1)\mathrm e^{-x}\] et $\mathscr C$ sa courbe représentative dans un repère donné du plan.

1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de l'ensemble de définition.
Corrigé

Si $x$ tend vers $-\infty$, alors $x+1$ aussi, et puisque $-x$ tend alors vers $+\infty$, $\mathrm e^{-x}$ tendra vers $+\infty$.
Donc le produit de $x+1$ par $\mathrm e^{x}$ tendra vers $-\infty$. \[\lim_{x\to-\infty}f(x) = -\infty.\] On peut écrire que : \[f(x) = (x+1)\mathrm e^{-x} = x\mathrm e^{-x} + \mathrm e^{-x} = \frac x{\mathrm e^x} + \frac 1 {\mathrm e^x}.\] On sait que $\frac{\mathrm e^x} x$ et $\mathrm e^x$ tendent vers $+\infty$, donc leurs inverses tendent vers 0, et la somme de ces inverses tendra donc aussi vers 0. \[\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty.\]

2. Calculer $f'(x)$ puis étudier les variations de $f$ sur son ensemble de définition.
Corrigé

Pour tout réel $x$, on a : \[\begin{aligned} f'(x)&=1\mathrm e^{-x} + (x+1)(-\mathrm e^{-x})& \\ &=\mathrm e^{-x} -x\mathrm e^{-x} -\mathrm e^{-x}& \\ &=-x\mathrm e^{-x}.& \end{aligned}\] Puisque $\mathrm e^{-x}>0$, $f'(x)$ est donc du signe opposé à $x$, ce qui implique que $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;0]$ et strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.

3. Déterminer une équation de la tangente à $\mathscr C$ au point d'abscisse $-1$.
Corrigé

On a : \[\begin{aligned} f'(-1) &= +1\mathrm e{+1} = \mathrm e& \\ f(-1) &=(-1+1)\mathrm e^{+1} = 0\times \mathrm e = 0.& \end{aligned}\] L'équation de la tangente en $-1$ à $\mathscr C$ est donc : \[\begin{aligned} y &= f'(1)\left(x-(-1)\right) + f(-1)& \\ \iff y &= \mathrm e(x+1)& \\ \iff y &= \mathrm ex + \mathrm e.& \end{aligned}\]

Partie B

Pour tout entier relatif $k$, on note $f_k$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par \[f_k(x) = (x+1)\mathrm e^{kx}.\] On note $\mathscr C_k$ la courbe représentative de $f_k$ dans le repère évoqué dans la partie A.
On remarque en particulier que la fonction $f_{-1}$ est la fonction $f$ étudiée dans la partie A.

1. Quelle est la nature de la fonction $f_0$?
Corrigé

Pour tout réel $x$: \[f_0(x) = (x+1)\mathrm e^{0\times x} = (x+1)\mathrm e^0 = (x+1)\times 1 = x+1.\] La fonction $f_0$ est donc affine.

2. Démontrer que toutes les courbes $\mathscr C_k$ passent par deux mêmes points dont on précisera les coordonnées.
Corrigé

Quel que soit le réel $k$: \begin{align*} f_k(-1) &= (-1+1)\mathrm e^{-k} = 0;& \\ f_k(0) &= (0+1)\mathrm e^{k\times 0} = 1\mathrm e^0 = 1.& \end{align*} Donc, quel que soit le réel $k$, la courbe représentative de $f_k$ passera par les points de coordonnées $(-1;0)$ et $(0;1)$.

3. Pour tout réel $x$ et tout entier $k$ non nul, démontrer que \[f_k'(x) = (kx + k + 1)\mathrm e^{kx}.\] Corrigé

Quel que soit le réel $k$, et pour tout réel $x$: \[\begin{aligned} f'_k(x) &= 1\mathrm e^{kx} + (x+1)\left(k\mathrm e^{kx}\right)& \\ &= \mathrm e^{kx} + kx\mathrm e^{kx}+ k\mathrm e^{kx}& \\ &=(kx + k + 1)\mathrm e^{kx}.& \end{aligned}\]

4. En déduire les variations de la fonction $f_k$ en fonction de $k$ (on distinguera selon le signe de $k$).
Corrigé

Si $k=0$, on a vu plus haut que $f_k$ est une fonction affine de coefficient directeur strictement positif, donc $f_k$ est strictement croissant sur $\mathbb R$.
Considérons désormais $k\neq 0$. Puisque $\mathrm e^{kx}>0$, le signe de $f'_k(x)$ est celui de $kx+k+1$.
Or on a : \[\begin{aligned} kx + k + 1 &= 0& \\ \iff kx &= -k - 1& \\ \iff x&=\frac{-k-1}k& \\ \iff x &= -\frac{k+1}k.& \end{aligned}\] Si $k<0$, alors $x\mapsto kx +k +1$ est une fonction affine de coefficient directeur $k<0$, strictement décroissante.
Elle est donc strictement positive avant $-\frac{k+1}k$ et strictement négative après.
La fonction $f_k$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;-\frac{k+1}k\right]$ et strictement décroissante sur $\left[-\frac{k+1}k;+\infty\right[$.
Si $k>0$, c'est le contraire, donc $f_k$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty;-\frac{k+1}k\right]$ et strictement croissante sur $\left[-\frac{k+1}k;+\infty\right[$.

5. Le graphique suivant représente quatre courbes correspondant aux quatre valeurs particulières du paramètre $k$ : \[-3,\quad -1,\quad 1\quad\text{et}\quad 2.\] Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant soigneusement la réponse.

Corrigé

L'étude menée à la question précédente permet d'affirmer que pour $k\neq 0$, $f_k$ admet un extremum en $-\frac{k+1}k$.
Si $k$ est négatif, c'est un maximum et si $k$ est positif, c'est un minimum.
Les courbes $H$ et $K$ présentent un minimum, donc correspondent à $k>0$. De plus, si $k=1$ \[-\frac{k+1}k = -2.\] Ce sont donc $H$ qui représente $f_1$ et $K$ qui représente $f_2$.
Si $k=-1$: \[-\frac{k+1}{k} = 0,\] or la courbe $E$ présente un maximum en 0. Elle représente donc $f_{-1}$.
Enfin, par élimination, $F$ représente $f_{-3}$.

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