Pour tout $x\neq 0$ on a: \[x + 2 - \mathrm e^x = x\left(1 + \frac 2 x - \frac{\mathrm e^x}x\right).\] Or on sait que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac 2 x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\mathrm e^x}x = 0$ donc \[\lim_{x\to+\infty} 1 + \frac 2 x - \frac{\mathrm e^x}x = 1.\] D'autre part, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x = +\infty$.
Donc, par produit de ces deux limites : \[\lim_{x\to+\infty} x\left(1 + \frac 2 x - \frac{\mathrm e^x}x\right) = +\infty.\]

Pour tout réel $x$: \[x\mathrm e^{-x} = x \cdot \frac 1{\mathrm e^x} = \frac{x}{\mathrm e^x}.\] Or nous savons que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\mathrm e^x}x = +\infty$, donc par passage à l'inverse: \[\lim_{x\to+\infty} \frac{x}{\mathrm e^x} = 0.\]

Pour tout réel $x\ge 1$: \[0 \le \sqrt{x} \le x \implies 0 \le \frac 1 x \le \frac 1 {\sqrt x}.\] Puisque l'exponentielle est strictement positive, on en déduit que pour $x\ge 1$: \[\frac{\mathrm e^x}{x} \le \frac{\mathrm e^x}{\sqrt x}.\] Or nous savons que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\mathrm e^x}x = +\infty$, donc par comparaison: \[\lim_{x\to+\infty} \frac{\mathrm e^x}{\sqrt x} = +\infty.\]

Pour tout réel $x$: \[\mathrm e^{2x} - x\mathrm e^x = \mathrm e^{2x}\left(\frac{\mathrm e^{2x}}{\mathrm e^{2x}}- \frac{x\mathrm e^x}{\mathrm e^{2x}}\right) =\mathrm (e^{x})^2\left(1 - \frac x{\mathrm e^x}\right).\] D'une part, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \mathrm e^x = +\infty$, donc par produit (par elle-même): \[\lim_{x\to+\infty} \left(\mathrm e^x\right)^2 = +\infty.\] D'autre part, on a déjà montré plus haut que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\mathrm e^x} = 0$ donc: \[\lim_{x\to+\infty} 1 - \frac{x}{\mathrm e^x} = 1.\] Donc par produit de ces deux limites : \[\lim_{x\to+\infty} (\mathrm e^{x})^2\left(1 - \frac x{\mathrm e^x}\right) = +\infty.\]