Vrai. La fonction $f$ est dérivable en tout $x\in \mathbb R$ et \[f'(x) =1\times \mathrm e^{-4x+1} + x(-4\mathrm e^{-4x+1}) =\mathrm e^{-4x+1} -4x\mathrm e^{-4x+1}.\] Donc: \[\begin{aligned} f(0) &= 0\times\mathrm e^{-4\times 0+1} = 0\;;& \\ f'(0) &=\mathrm e^{-4\times 0+1} - 4\times 0 \times \mathrm e^{-4\times 0 + 1} = \mathrm e^1 - 0 = \mathrm e.& \end{aligned}\] Donc l'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est \[y = f'(0)(x-0) + f(0) \iff y = \mathrm ex + 0 \iff y = \mathrm ex.\]

Faux. La fonction $g$ est dérivable pour tout $x\in \left]-\infty;\frac12\right[\cup\left]\frac12;+\infty\right[$ et \[\begin{aligned} f'(x) &= \frac{3\mathrm e^{3x-2}(2x-1) - \mathrm e^{3x-2}\times 2}{(2x-1)^2}& \\ &=\frac{2x\mathrm e^{3x-2} - \mathrm e^{3x-2} - 2\mathrm e^{3x-2}}{(2x-1)^2}& \\ &=\frac{2x\mathrm e^{3x-2} - 3\mathrm e^{3x-2}}{(2x-1)^2}.& \end{aligned}\] Donc : \[ f'(0) = \frac{2\times 0\mathrm e^{3x-2} - 3\mathrm e^{3\times 0-2}}{(2\times 0-1)^2} = \mathrm e^{-2} \] La tangente au point d'abscisse 0 admet $\mathrm e^{-2}$ et non pas $\mathrm e$ pour coefficient directeur. Son équation ne peut donc pas être $y=\mathrm ex$.