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La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_0 = -2 \quad\text{et}\quad u_{n+1} = \frac 1 2 u_n + 3.\]

1. Montrer que cette suite est majorée par 6.
   Corrigé
   Procédons à un raisonnement par récurrence.
   Il est clair que $u_0 \le 6$, donc l'assertion est vraie au rang 0.
   Si l'on suppose que, pour un entier naturel $n$ quelconque, \[u_n \le 6,\] alors : \begin{align*} u_n &\le 6& \\ \implies \frac 1 2 u_n &\le 3& \\ \implies \frac 1 2 u_n + 3 &\le 6& \\ \implies u_{n+1} &\le 6.& \end{align*} On voit que cette assertion est également héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le 6$.
2. Montrer que cette suite est croissante.
   Corrigé
   Considérons la différence $u_{n+1} - u_n$ : \[u_{n+1} - u_n = \frac 1 2 u_n + 3 - u_n = 3 - \frac 1 2 u_n.\] Or : \[u_n \le 6 \implies -\frac 1 2 u_n \ge -3 \implies 3 - \frac 1 2 u_n \ge 0.\] La différence $u_{n+1}-u_n$ étant positive pour tout rang $n$, cette suite est donc croissante.
3. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et préciser sa limite.
   Corrigé
   La suite $(u_n)$ étant croissante et majorée, elle est nécessairement convergente.
   Soit $\ell$ la limite de cette suite. Puisque la fonction affine $x\mapsto \frac 1 2 x + 3$ est continue sur $\mathbb R$, cette limite vérifie la relation \[\begin{aligned} \ell &= \frac 1 2 \ell + 3& \\ \iff \ell - \frac 1 2 \ell &= 3& \\ \iff \frac 1 2 \ell &= 3& \\ \iff \ell &=3\times 2 = 6.& \end{aligned}\] La suite $(u_n)$ converge donc vers 6.

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