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La pyramide du Louvre est une pyramide régulière à base carrée de 35,4 m de côté et de 21,6 m de hauteur.

Elle est représentée ci-dessous par la pyramide $SABCD$.

1. Calculer la longueur $BD$, en m.
   Arrondir au dixième.
   Corrigé
   Le triangle $BCD$ est rectangle et isocèle en $C$ donc : \[BD^2 = BC^2 + CD^2 = 2\times 35,4^2 = 2506,32\] On en déduit que : \[BD = \sqrt{2506,32} \approx 50,06 \approx 50,1\ \text{m.}\]
2. Déterminer la mesure, en degré, de l'angle $\widehat{SBO}$.
   Arrondir à l'unité.
   Corrigé
   $O$ est le milieu de $[BD]$ donc : \[BO = \frac{BD}2 = \approx \frac{50,1} 2 \approx 25,05\ \text{m}.\] Le triangle $SBO$ est rectangle en $O$ donc : \[\tan \widehat{SBO} = \frac{SO}{BO} \approx \frac{21,6}{25,05}.\] On a donc finalement : \[\widehat{SBO} = \arctan\frac{21,6}{25,05} \approx 40,77 \approx 41\text{°}.\]
3. En déduire la mesure, en degré, de l'angle $\widehat{BSD}$.
   Arrondir à l'unité.
   Corrigé
   Le triangle $BSD$ est isocèle en $B$, donc : \[\widehat{SDB} = \widehat{SBD}.\] La somme des angles de ce triangle mesure 180°, donc \[\begin{aligned} \widehat{BSD}+\widehat{SDB}+\widehat{SBD} &= 180& \\ \implies \widehat{BSD} + 2\times\widehat{SBO} &= 180& \\ \implies \widehat{BSD}&=180 - 2\times \widehat{SBO}& \\ \implies \widehat{BSD}&\approx 180 - 2\times 41 \approx 98\text{°}.& \end{aligned}\]

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