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Soient $ABCD$ un quadrilatère et $M$ et $N$ les points définis par : \[\overrightarrow{BM} = \frac 1 2\overrightarrow{AB} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{AN} = 3\overrightarrow{AD}.\]

1. 1. En utilisant l'égalité \[\overrightarrow{CM}= \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BM},\] montrer que \[\overrightarrow{CM}= \dfrac 1 2 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}.\] Corrigé
      \[ \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM} =\overrightarrow{CB}+\frac 1 2\overrightarrow{AB} =\frac 1 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}. \]
   2. En utilisant l'égalité \[\overrightarrow{CN}= \overrightarrow{CD}+ \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AN},\] montrer que \[\overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}.\] Corrigé
      \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CN}& =\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}& \\ &=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{AD}& \\ &=-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AD}+3\overrightarrow{AD}& \\ &=-\overrightarrow{DC}+2\overrightarrow{AD}& \\ &=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}.& \end{aligned} \]
2. En déduire que si $ABCD$ est un parallélogramme, alors les points $C$, $M$ et $N$ sont alignés.
   Corrigé
   Si $ABCD$ est un parallélogramme, alors on a les égalités vectorielles \[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\ \text{et}\ \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}.\] Alors: \[ \begin{aligned} \overrightarrow{CN} &=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}& \\ &=2\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}& \\ &=-2\left(-\overrightarrow{BC}+\frac 1 2\overrightarrow{AB}\right)& \\ &=-2\overrightarrow{CM}.& \end{aligned} \] Les vecteurs $\overrightarrow{CN}$ et $\overrightarrow{CM}$ sont colinéaires, donc les points $C$, $M$ et $N$ sont alignés.

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code : 388