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On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb N$ par
$u_0 = 3$ et pour tout $n\in\mathbb N$,
\[u_{n+1} = 3u_n +2.\]
Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
\[u_n = 4\times 3^n - 1.\]
Corrigé
Soit $\mathcal P(n)$ la propriété « $u_n = 4\times 3^n - 1$ ».
- (Initialisation)
Au rang $0$, on a
\[4\times 3^0 - 1 = 4 \times 1 - 1 = 3 = u_0,\]
donc $\mathcal P(0)$ est vraie.
- (Hérédité)
Supposons qu'à un rang $n$ donné $\mathcal P(n)$ est vraie
\[\begin{aligned}
u_{n+1} &= 3u_n + 2&\\
&= 3\left(4\times 3^n - 1\right) + 2 &
\\
&=4\times \underbrace{3\times 3^n}_{3^{n+1}} - 3\times 1 + 2&
\\
&= 4\times 3^{n+1} - 3 + 2&
\\
&= 4\times 3^{n+1} - 1.&
\end{aligned}\]
Donc $\mathcal P(n+1)$ est aussi vraie.
On a démontré par récurrence que $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
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