Sur $]-\infty;-1]$, $f$ est assimilable à une fonction affine, donc représentée par une demi-droite de coefficient directeur $1$ et qui, prolongée, passerait pas le point de coordonnées $(0;3)$.
Sur $]-1;+\infty[$, $f$ est assimilable à une fonction polynôme, donc représentée par un arc de parabole.
Le sommet de cette parabole admet pour coordonnées : \[\begin{aligned} x &= -\frac b{2a} = -\frac 1 2\;;& \\ y &= f\left(-\frac 1 2\right) = \left(-\frac 1 2\right)^2 -\frac 1 2 = \frac 1 4 - \frac 1 2 = -\frac 1 4.& \end{aligned}\] De plus \[\begin{aligned} f(1) &= 1^2 + 1= 2& \\ f(2) &=2^2+2=4+2 = 6.& \end{aligned}\] On obtient donc la figure ci-dessous.

Sur $]-\infty;-1]$, $f$ est une fonction affine donc continue.
De même, sur $]-1;+\infty[$, $f$ est une fonction polynôme donc aussi continue.
Par contre, en −1 : \[ \lim_{x\to-1^+} f(x)=\lim_{x\to -1^+} x^2 + x = (-1)^2 + (-1) = 1-1 = 0. \] Puisque \[\lim_{x\to1^+} f(x) \neq f(1)\] il y a une discontinuité au point d'abscisse $-1$.
Donc $f$ n'est pas continue sur $\mathbb R$.