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Pour chaque proposition ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse. Répondre en indiquant le numéro de la question et la mention «vrai» ou «faux».

1. On considère deux fonctions $f$ et $g$ telles que : \[\lim_{x\to +\infty} f(x) =3\quad\text{et}\quad \lim_{x\to 3} g(x) = -\infty.\]
   1. «On est assuré que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(g(x)) = -\infty$»;
      Corrigé
      Faux (on ignore vers quoi tend $g$ quand $x$ tend vers $+\infty$).
   2. «On est assuré que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(f(x)) = -\infty$»;
      Corrigé
      Vrai. Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, on sait que $f(x)$ tend vers $3$. Donc $g(f(x))$ tend vers la limite de $g$ en $3$ qui est $-\infty$.
2. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[-2;6]$ telle que \[f(-2) = 3 \quad\text{et}\quad f(6) = -4.\]
   1. «L'équation $f(x) = 5$ a au moins une solution sur l'intervalle $[-2;6]$»;
      Corrigé
      Faux. Puisque $5\notin[-4;3]$ cette équation pourrait être sans solution.
   2. «L'équation $f(x) = -3$ a au moins une solution dans l'intervalle $[-2;6]$»;
      Corrigé
      Vrai car $-3\in[-4;3]$.
   3. «$0$ admet au moins un antécédent par $f$»;
      Corrigé
      Vrai car $0\in[-4;3]$.
   4. «la fonction $f$ est décroissante sur $[-2;6]$».
      Corrigé
      Faux. Elle peut changer de variation sur l'intervalle $[-2;6]$.

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code : 435