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Soit $f$ une fonction continue sur $[0\;;\,1]$ et à valeurs dans $[0\;;\;1]$.
Démontrer qu'il existe au moins un réel $\alpha$ dans $[0\;;\;1]$ tel que $f(\alpha)=\alpha$.
Corrigé
Si $f(0)=0$ alors $\alpha = 0$ convient et si $f(1) = 1$, alors $\alpha = 1$ convient aussi.
Supposons donc désormais que $f(0)\neq 0$ et $f(1)\neq 1$.
Soit $\varphi$ la fonction définie sur $[0;1]$ par
\[\varphi(x) = f(x) - x.\]
Alors :
\[\begin{aligned}
f(0)\neq 0 &\implies f(0)>0 \implies f(0)-0 >0 \implies \varphi(0) > 0&
\\
f(1)\neq 1 &\implies f(1)<1 \implies f(1) - 1 < 0 \implies \varphi(1) < 0&
\end{aligned}\]
De plus, $f$ étant continue sur $[0,1]$, $\varphi$ l'est aussi.
Donc, selon le théorème des valeurs intermédiaires, il existe il réel $\alpha$ tel que :
\[\varphi(\alpha) = 0 \implies f(\alpha) - \alpha = 0 \implies f(\alpha) = \alpha.\]
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