EX-22
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Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par \[f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1.\]
1. Justifier que pour tout $x\in\mathbb R$, \[f'(x) = 6x^2 + 6x - 12.\] Corrigé
Pour tout réel $x$ :
\[f'(x) = 2 \times (3x^2) -3 \times (2x) - 12 = 6x^2 - 6x - 12.\]
2. Justifier que le tableau de signe de la fonction $f'$ est bien :
$f'(x)$ est une fonction polynôme de degré 2 dont le discriminant vaut :
\[\Delta = 6^2 - 4\times 6 \times (-12) = 324.\]
Puisque $\Delta > 0$, cette fonction admet deux racines.
\[\begin{aligned}
x_1 &= \frac{-6 - \sqrt{324}}{2\times 6} = -2;&
x_2 &=\frac{-6 + \sqrt{324}}{2\times 6} = 1.&
\end{aligned}\]
De plus, puisque le coefficient principal (de degré 2) est positif,
$f'(x)$ est positive à l'extérieur de ses racines.
3.
En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
Corrigé
On a donc le tableau de variations suivant :
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code : 46