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Pour chacune des fonctions suivantes, donner une expression de sa dérivée et en déduire ses variations.
1.
$f$, définie et dérivable sur $\mathbb R$, telle que
\[f(x) = \mathrm e^{-5x+3}.\]
Corrigé
Pour tout réel $x$ :
\[f'(x) = -5\mathrm e^{-5x+3}.\]
Or
\[\mathrm e^{-5x+3} > 0 \implies -5\mathrm e^{-5x+3} < 0.\]
Donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$.
2.
$g$, définie et dérivable sur $\mathbb R\setminus\left\{\dfrac 5 3\right\}$, telle que
\[g(x) = \dfrac{\mathrm e^{2x+1}}{3x - 5}.\]
Corrigé
Pour tout $x\in\mathbb R\setminus\left\{\frac 5 3\right\}$ :
\[\begin{aligned}
g'(x) &=
\frac{2\mathrm e^{2x+1}(3x-5) - \mathrm e^{2x+1}\cdot 3}{(3x-5)^2}&\\
&=\frac{6x\mathrm e^{2x+1} - 10\mathrm e^{2x+1} - 3\mathrm e^{2x+1}}{(3x-5)^2}&\\
&=\frac{6x\mathrm e^{2x+1} - 13\mathrm e^{2x+1}}{(3x-5)^2}&\\
&=\frac{(6x - 13)\mathrm e^{2x+1}}{(3x-5)^2}&
\end{aligned}\]
Les facteurs $\mathrm e^{2x+1}$ et $(3x-5)^2$ sont strictement positifs, donc $g'(x)$ est
du même signe que $6x - 13$.
On en déduit que:
-
$g'(x)<0$ quand $x\in\left]-\infty;\frac{13}6\right[$, donc $g$ est strictement
décroissante sur $\left]-\infty;\frac{13}6\right]$.
-
$g'(x) > 0$ quand $x\in\left]\frac{13}6;+\infty\right[$, donc $g$ est strictement
croissante sur $\left[\frac{13}6;+\infty\right[$.
3.
$h$ définie et dérivable sur $\mathbb R$, telle que
\[h(x) = (-2x+5)\mathrm e^{3x}.\]
Corrigé
Pour tout réel $x$:
\[\begin{aligned}
h'(x) &= -2\mathrm e^{3x} + (-2x+5)\cdot 3\mathrm e^{3x}&\\
&=-2\mathrm e^{3x} -6x\mathrm e^{3x} + 15\mathrm e^{3x}&\\
&=-6x\mathrm e^{3x} + 13\mathrm e^{3x}&\\
&=(-6x + 13)\mathrm e^{3x}&
\end{aligned}\]
Puisque $\mathrm e^{3x}>0$, $h'(x)$ est du signe de $-6x + 13$. Donc
-
Si $x\in\left]-\infty;\frac{13}6\right[$, $h'(x) > 0$.
Donc $h$ est strictement croissante sur $\left]-\infty;\frac{13}6\right]$.
-
Si $x\in\left]\frac{13}6;+\infty\right[$, $h'(x) < 0$. Donc $h$ est strictement décroissante sur
$\left]\frac{13}6;+\infty\right[$.
4.
$k$ définie et dérivable sur $\mathbb R\setminus\left\{-1;2\right\}$, telle que
\[k(x) = \dfrac{\mathrm e^{-x+2}}{x^2 -x + 2}.\]
Corrigé
Pour tout $x\in\mathbb R\setminus\{-1;2\}$:
\[\begin{aligned}
k'(x) &= \frac{-\mathrm e^{-x+2}(x^2-x+2) - \mathrm e^{-x+2}(2x-1)}{(x^2-x+2)^2}&\\
&=\frac{x^2\mathrm e^{-x+2} + x\mathrm e^{-x+2} - 2\mathrm e^{-x+2} -2x\mathrm e^{-x+2} + \mathrm e^{-x+2}}
{(x^2 - x + 2)^2}&\\
&=\frac{-x^2\mathrm e^{-x+2}-x\mathrm e^{-x+2}-\mathrm e^{-x+2}}{(x^2-x+2)^2}&\\
&=\frac{(-x^2-x-1)\mathrm e^{-x+2}}{(x^2-x+2)^2}&
\end{aligned}\]
$k'(x)$ est du signe de $-x^2 - x - 1$. Le discriminant de ce polynôme est
\[\Delta = (-1)^2 - 4\times (-1)\times (-1) = -3.\]
Il est négatif, donc ce polynôme ne s'annule jamais ; il est toujours négatif.
Donc $k$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-1[$, puis strictement décroissante sur $]-1;2[$ et enfin
strictement décroissante sur $]2;+\infty[$.
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