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On considère une droite $\mathscr D$ munie d'un repère $(O;\vec i)$. Soit $(A_n)$ la suite de points de la droite $\mathscr D$ ainsi définie:

• $A_0$ est le point d'abscisse $0$;
• $A_1$ est le point d'abscisse $1$;
• pour tout entier naturel $n$, le point $A_{n+2}$ est le milieu du segment $[A_nA_{n+1}]$.

1. 1. Placer sur un dessin la droite $\mathscr D$, les points $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$.
      corrigé
      
   2. Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ l'abscisse du point $A_n$.
      On a donc, pour tout entier naturel $n$: \[a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}} 2.\] Calculer $a_2$, $a_3$ et $a_4$.
      corrigé
      On a : \[\begin{aligned} a_2 &= \frac{a_0 + a_1} 2 = \frac 1 2\;;&\\ a_3 &= \dfrac{a_1+a_2} 2 = \dfrac 3 4\;;&\\ a_4 &=\dfrac{a_2+a_3} 2 = \dfrac{\frac 1 2 + \frac 3 4}2 =\dfrac{\frac{2+3}4}{2}=\dfrac{5}{4}\times \dfrac 1 2 = \dfrac 5 8.& %&a_5 = \dfrac{a_3+a_4} 2 = \dfrac {11}{16};& %&a_6 = \dfrac{a_4 + a_5} 2 = \dfrac {21}{32}.& \end{aligned}\]
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, \[a_{n+1} = -\frac 1 2 a_n + 1.\] corrigé

   Démontrons par récurrence l'assertion $\mathcal P(n)$ : \[a_{n+1} = -\frac 1 2 a_n + 1.\]

   • Au rang $0$, \[-\frac 1 2 a_0 +1 = -0 +1 = 1=a_1.\] Donc $\mathcal P(0)$ est vraie.
   • Supposons donc qu'à un rang quelconque $n$, on ait $\mathcal P(n)$, donc que: \[a_{n+1}=-\frac 1 2 a_n + 1\] On peut alors aussi dire que: \[\begin{aligned} a_{n+1} - 1 &= -\frac 1 2 a_n&\\ \implies -2(a_{n+1}-1) &= a_n&\\ \implies a_n &= -2a_{n+1} + 2.& \end{aligned}\] Montrons qu'alors $\mathcal P(n+1)$ est aussi vraie, donc que \[a_{n+2}=-\frac 1 2 a_{n+1} +1).\] On sait que: \[\begin{aligned} a_{n+2}&=\frac{a_n+a_{n+1}} 2 &\\ &= \frac{-2(a_{n+1}-1)+a_{n+1}} 2&\\ &= \frac{-a_{n+1}+2}{2}&\\ &= -\frac 1 2 a_{n+1} + 1.& \end{aligned}\] Donc on a bien $\mathcal P(n+1)$ vraie.

   En conclusion, puisque $\mathcal P(0)$ est vraie et que, pour tout entier naturel $n$, $\mathcal P(n) \implies \mathcal P(n+1)$, l'assertion $\mathcal P(n)$ est démontrée par récurrence pour tout entier naturel $n$.

3. Soit $(v_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par \[v_n = a_n - \frac 2 3.\] Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $-\dfrac 1 2$.
   corrigé
   Pour tout entier naturel $n$ il vient: \[\begin{aligned} v_{n+1} &= a_{n+1}-\frac 2 3&\\ &= -\frac 1 2 a_n +1 - \frac 23&\\ &= -\frac 1 2 a_n +\frac 1 3&\\ &= -\frac 1 2 (a_n -\frac 2 3)&\\ &= -\frac 1 2 v_n.& \end{aligned}\] Ceci prouve que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $-\frac 1 2$.
4. Déterminer la limite de la suite $(v_n)$, puis celle de la suite $(a_n)$.
   corrigé
   La raison de la suite $(v_n)$ étant strictement comprise entre $-1$ et $1$, on sait que la limite de $(v_n)$ est $0$. Mais alors: \[\lim_{n\to+\infty} a_n = \lim_{n\to +\infty} v_n + \frac 2 3 = \frac 2 3.\]

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