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$(u_n)$ est la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+1} = \frac{u_n}{3u_n + 1}.\]
On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \neq 0$.
La suite $(v_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par
\[v_n = \frac 1 {u_n}.\]
-
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$ puis $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
Corrigé
\[\begin{aligned}
u_1 &= \frac{u_0}{3u_0 + 1} = \frac 2 {3\times 2 + 1} = \frac 2 7\;;&
\\
u_2 &=\frac{u_1}{3u_1 + 1}
= \frac{\frac 2 7}{3\times \frac 2 7 + 1}
= \frac{\frac 2 7}{\frac{6+7}7}&
\\
&= \frac{\frac 2 7}{\frac{13} 7}
= \frac{2}{7}\times \frac{7}{13} = \frac 2 {13}\;;&
\\
u_3 &= \frac{u_2}{3u_2 + 1} = \frac{\frac 2 {13}}{3\times \frac 2 {13} + 1}
=\frac{\frac 2 {13}}{\frac{6+13}{13}} = \frac{\frac 2 {13}}{\frac{19}{13}} &
\\
&= \frac{2}{13}\times \frac{13}{19} = \frac 2 {19}.&
\end{aligned}\]
On en déduit :
\[\begin{aligned}
v_1 &=\frac 1 {u_1} = \frac 7 2\;;&
\\
v_2 &=\frac 1 {u_2} = \frac{13} 2\;;&
\\
v_3 &=\frac 1 {u_3} = \frac{19} 2.&
\end{aligned}\]
-
Démontrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$:
\[\begin{aligned}
v_{n+1} - v_n
&=\frac{1}{u_{n+1}} - \frac 1 {u_n}&
\\
&=\frac{3u_n + 1}{u_n} - \frac 1 {u_n}&
\\
&=\frac{3u_n + 1 - 1}{u_n}&
\\
&=\frac{3u_n}{u_n}&
\\
&=3.&
\end{aligned}\]
La suite $(v_n)$ est donc arithmétique de raison 3.
-
En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis celle de
$u_n$ en fonction de $n$.
Corrigé
Puisque $(v_n)$ est arithmétique de raison $r= 3$ et de premier terme
\[v_0 = \frac 1 {u_0} = \frac 1 2,\]
pour tout entier naturel $n$ :
\[v_n = v_0 + nr = \frac 1 2 + 3n.\]
Sachant que
\[v_n = \frac 1 {u_n} \iff u_n = \frac 1 {v_n},\]
pour tout entier naturel $n$:
\[u_n = \frac 1 {v_n} = \frac 1 {\frac 1 2 + 3n}
=\frac{1}{\frac{1 + 6n}2}
=\frac{2}{6n+1}.
\]
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