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Pour chacune des suites ci-dessous, montrer qu'il s'agit d'une suite géométrique
dont on précisera la raison et le premier terme.
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$(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $u_n = 2\mathrm e^{-n}$.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$:
\[\begin{aligned}
u_{n+1} &= 2\mathrm e^{-(n+1)}&
\\
&= 2\mathrm e^{-n-1}&
\\
&= 2\mathrm e^{-1}\mathrm e^{-n}&
\\
&=2\times \frac 1 {\mathrm e}u_n&
\\
&=\frac 2 {\mathrm e}u_n.&
\end{aligned}\]
La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac 2{\mathrm e}$ et de premier terme
\[u_0 = 2\mathrm e^{-0} = 2\times 1 = 2.\]
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$(v_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $v_n =-5\mathrm e^{-n+2}$.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$:
\[\begin{aligned}
v_{n+1} &= -5\mathrm e^{-(n+1) +2}&
\\
&=-5\mathrm e^{-n-1+2}&
\\
&=-5\mathrm e^{-n+2}\times \mathrm e^{-1}&
\\
&=\mathrm e^{-1} \times (-5\mathrm e^{-n+2})&
\\
&=\frac 1 {\mathrm e}v_n.&
\end{aligned}\]
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac 1 {\mathrm e}$ et de premier terme
\[v_0 = -5\mathrm e^{-0+2} = -5\mathrm e^2.\]
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$(w_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb N$ par $w_n = \dfrac{3\mathrm e}{\mathrm e^{3n+1}}$.
Corrigé
Pour tout entier naturel $n$:
\[\begin{aligned}
w_{n+1} &=\frac{3\mathrm e}{\mathrm e^{3(n+1)+1}}&
\\
&=\frac{3\mathrm e}{\mathrm e^{3n + 3 + 1}}&
\\
&=\frac{3\mathrm e}{\mathrm e^{3+3n+1}}&
\\
&=\frac{3\mathrm e}{\mathrm e^{3}\times \mathrm e^{3n+1}}&
\\
&=\frac 1 {\mathrm e^3}\times \frac{3\mathrm e}{\mathrm e^{3n +1}}&
\\
&=\frac 1 {\mathrm e^3}w_n.&
\end{aligned}\]
Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q= \dfrac 1 {\mathrm e^3}$ et de premier terme
\[w_0 = \frac{3\mathrm e}{\mathrm e^{3\times 0 + 1}} = \frac{3\mathrm e}{\mathrm e} = 3.\]
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