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$f$ définie sur $\mathbb R$ par:
\[f(x) = x^4 - x^3.\]
Corrigé
$f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et:
\[f'(x) = 4x^3 - 3x^2 = x^2(4x-3).\]
Puisque, pour tout réel $x$, $x^2\geqslant 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $4x-3$. Or
\[\begin{aligned}
4x - 3 &\leqslant 0&
\\ \iff
x &\leqslant \dfrac 3 4&
\end{aligned}\]
De même:
\[
4x - 3 \geqslant 0 \iff x \geqslant \dfrac 3 4.
\]
Donc $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty;\frac 3 4\right]$
et croissante sur l'intervalle $\left[\frac 3 4;+\infty\right[$.
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$g$ définie sur $]0;+\infty[$ par:
\[g(x) = \dfrac{3x - 1}{2x}.\]
Corrigé
\[2x= 0 \iff x = 0.\]
Donc $g$ est définie (et dérivable) sur $\mathbb R^*$.
\[g'(x) = \dfrac{3\cdot 2x - (3x -1)\cdot 2}{(2x)^2}
=\dfrac{2}{4x^2} = \dfrac 1 {2x^2}.\]
Pour tout réel $x$ non nul, $x^2 > 0$, donc $g'(x) >0$.
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty;0[$
ainsi que sur l'intervalle $]0;+\infty[$.
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$h$ définie sur $]1;+\infty[$ par:
\[h(x) = \dfrac{-x^2 + 2x}{x-1}.\]
Corrigé
$x-1 = 0 \iff x = 1$, donc $h$ est définie et dérivable sur $\mathbb R\setminus\{1\}$.
\begin{align*}
h'(x) &= \dfrac{(-2x+2)(x-1) - 1(-x^2+2x)}{(x-1)^2}&
\\
&= \dfrac{-2x^2+2x+2x-2+x^2-2x}{(x-1)^2}&
\\
&=\dfrac{-x^2+2x-2}{(x-1)^2}.&
\end{align*}
Puisque pour tout réel $x\neq 1$,
\[(x-1)^2>0$,\]
$h'(x)$ est du signe du polynôme $-x^2+2x-2$.
Son discriminant est $\Delta = 4-4(-1)(-2) = 12$.
Il est strictement positif donc ce polynôme admet deux racines distinctes:
\begin{align*}
x_1 &= \dfrac{-2 -\sqrt{12}}{2\times(-1)} = \dfrac{-2-2\sqrt 3}{-2} = 1+\sqrt 3;&\\
x_2 &= \dfrac{-2 +\sqrt{12}}{2\times(-1)} = \dfrac{-2+2\sqrt 3}{-2} = 1-\sqrt 3.&
\end{align*}
Le coefficient principal est négatif, donc le polynôme est négatif à l'extérieur de ses racines.
$h$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;1-\sqrt 3]$,
strictement croissante sur $[1-\sqrt 3;1+\sqrt 3]$
et à nouveau strictement décroissante sur $[1+\sqrt 3;+\infty[$.
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$k$ définie sur $\mathbb R$ par
\[k(x) = \sqrt{x^2+4x+11}.\]
Corrigé
La fonction $k$ est dérivable sur $\mathbb R$ et pour tout réel $x$:
\begin{align*}
k'(x) &= \frac{2x+4}{2\sqrt{x^2 + 4x + 11}}&
\\
&= \frac{2(x+2)}{2\sqrt{x^2+4x + 11}}&
\\
&= \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+11}}.&
\end{align*}
Le dénominateur étant positif, cette dérivée est du signe de $x+2$.
Donc:
Sur $]-\infty;-2[$, $f'$ est strictement négative donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-2]$;
Sur $]-2;+\infty[$, $f'$ est strictement positive donc $f$ est strictement croissante sur $[-2;+\infty[$.