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Donner, en justifiant la réponse, la limite des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :
\[\begin{aligned}
u_n &= 1 + \dfrac 1 3 + \left(\dfrac 1 3\right)^2 + \cdots + \left(\dfrac 1 3\right)^n\;;&
\\
v_n &=1 + 6 + 6^2 + \cdots + 6^n.&
\end{aligned}\]
Corrigé (un)
Corrigé (vn)
Pour tout entier naturel $n$ on a:
\[\begin{aligned}
u_n &= 1 + \frac 13 + \cdots + \left(\frac 1 3\right)^n&
\\
&=\frac{1 - \left(\frac 1 3\right)^{n+1}}{1- \frac 1 3}&
\\
&=\frac{1 - \left(\frac 1 3\right)^{n+1}}{\frac 2 3}&
\\
&=\frac 3 2 \left[1 -\left(\frac 1 3\right)^{n+1}\right]&
\end{aligned}\]
Puisque $-1 < \frac 1 3 < 1$,
\[\lim_{n\to+\infty}\left(\frac 1 3\right)^{n+1} = 0\]
donc
\[\lim_{n\to+\infty} u_n=\frac 3 2.\]
Pour tout entier naturel $n$ :
\[\begin{aligned}
v_n &= \frac{ 1 - 6^{n+1}}{1-6}&
\\
&= \frac{1 - 6^{n+1}}{-5}&
\\
&= \frac{6^{n+1} - 1} 5.&
\end{aligned}\]
Or $6 > 1$, donc le terme $6^{n+1}$ tend vers $+\infty$, et par conséquent $(v_n)$ aussi.
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