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Dans une région pétrolifère, un exploitant de forage constate que les volumes pompés, exprimés en millions de barils, diminuent de 15 % chaque année.

Au début de l'étude, le volume pompé est de 32 millions de barils.

On note $V_n$ le volume pompé après $n$ années, en millions de barils. Ainsi $V_0 = 32$.

1. Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$.
   Corrigé
   Diminuer de 15 % revient à être multiplié par \[1 - \frac{15}{100} = 0,85.\] On a donc \[V_{n+1} = 0,85V_n.\]
2. En déduire $V_n$ en fonction de $n$.
   Corrigé
   La suite $(V_n)$ est donc géométrique de raison $0,85$. Alors : \[\forall n\in\mathbb N,\quad V_{n} = q^n V_0 = 0,85^n \times 32.\]
3. Quel serait, selon ce modèle, le volume pompé au bout de 10 ans ?
   Corrigé
   On cherche $V_{10}$ : \[V_{10} = 32 \times 0,85^n \approx 6,3\] (en millions de barils.)
4. Calculer la limite de la suite $(V_n)$. Interpréter ce résultat.
   Corrigé
   Puisque $0,85 \in ]-1;1[$, on sait que : \[\lim_{n\to+\infty} 0,85^n = 0 \implies \lim_{n\to+\infty} 32\times 0,85^n = 0.\] À long terme, le forage sera virtuellement épuisé.
5. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose \[S_n= V_0 + V_1 + \cdots + V_n\]
   1. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
      Corrigé
      Pour tout $n\in\mathbb N$ : \begin{align*} S_n &= V_0 + V_1 + V_2 + \cdots + V_n& \\ &={\small 32 + 32\times 0,85 + 32 \times 0,85^2 + \cdots + 32\times 0,85^n}& \\ &= 32\left(1 + 0,85 + 0,85^2 + \cdots + 0,85^n\right)& \\ &=32\times \frac{1 - 0,85^{n+1}}{1 - 0,85}& \\ &= 32\times \frac{1 - 0,85^{n+1}}{0,15}& \\ &=\frac{32}{0,15}\times \left(1 - 0,85^{n+1}\right)& \\ &=\frac{640}3\left(1 - 0,85^{n+1}\right).& \end{align*}
   2. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} S_n$. Interpréter ce résultat.
      Corrigé
      Puisque $0,85\in]-1;1[$, on sait que : \begin{align*} \lim_{n\to+\infty} 0,85^{n+1} &= 0& \\ \implies \lim_{n\to+\infty} 1 - 0,85^{n+1} &= 1& \\ \implies \lim_{n\to+\infty} \frac{640} 3 \left(1 - 0,85^{n+1}\right) &= \frac{640}3.& \end{align*} De $\dfrac{640}3 \approx 213,3$ on peut en déduire que si l'on exploite le gisement jusqu'au bout, alors on aura extrait environ 213,3 millions de barils.

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