Soit $\mathcal P(n)$ la propriété: \[1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.\]

• (initialisation.) Si $n=1$, on a $1^3 = 1$ et \[\dfrac{n^2(n+1)^2}4 = \dfrac{1^2(1+1)^2}{4}=\dfrac 4 4 = 1.\] $\mathcal P(1)$ est donc vraie.
(Hérédité.) Supposons que $\mathcal P(n)$ est vraie à un rang $n\ge 1$ quelconque, donc que \[1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.\] Montrons que cela entraîne que $\mathcal P(n+1)$ est aussi vraie, c'est à dire que : \[1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 + (n+1)^3 = \dfrac{(n+1)^2(n+2)^2} 4.\] On a : \begin{align*} &1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 + (n+1)^3& \\ &= \frac{n^2(n+1)^2} 4 + (n+1)^3& \\ &= (n+1)^2\frac{n^2 + 4n + 4} 4& \\ &= (n+1)^2\left(\frac {n^2} 4 + (n+1)\right)& \\ &=(n+1)^2\frac{n^2+4n+4} 4& \\ &=(n+1)^2\frac{(n+2)^2} 4& \\ &=\frac{(n+1)^2(n+2)^2} 4.& \end{align*} Ce qui prouve $\mathcal P(n+1)$.

La propriété $\mathcal P(n)$ est initialisée et héréditaire, donc pour tout entier $n\ge 1$, $\mathcal P(n)$ est vraie.