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Soit $(u_n)$ la suite géométrique de raison $1,07$ et de premier terme $u_0 = 50$.
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Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
Corrigé
$u_n = u_0 q^n = 50 \times 1,07^n$.
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Étudier la variation de la suite $(u_n)$.
Corrigé
Il est clair que tous les termes de cette suite sont strictement positifs.
Considérons donc le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}
=\frac{1,07u_n}{u_n}
=1,07.\]
Puisque
\[\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1,\]
la suite $(u_n)$ est croissante.
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Quelle est la limite de la suite $(u_n)$?
Corrigé
Puisque $1,07 > 1$ et $u_0 > 0$, la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
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On considère la somme $S$ des 20 premiers termes de cette suite:
\[S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{19}.\]
Calculer $S$ (le résultat pourra être arrondi à l'unité).
Corrigé
D'après le cours:
\[S = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1 - q}
= 50 \times \frac{1 - 1,07^{20}}{1 - 1,07}
\approx 2050.
\]
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