retour
Pour chacune des suites définies ci-dessous, déterminer le sens de variation en calculant la différence
\[u_{n+1}-u_n.\]
-
$u_n = 2n^2 - n + 1$;
Corrigé
\[\begin{aligned}
u_{n+1}-u_n &= 2(n+1)^2 - (n+1) + 1 - 2n^2 + n - 1&
\\
&= 2n^2 + 4n +2-n-1+1-2n^2+n-1&
\\
&=4n+2.&
\end{aligned}\]
Puisque $n\ge 0$, $4n+2\ge 2 > 0$. La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
-
$u_n = \dfrac 1 {(4n -1)^2}$;
Corrigé
\[\begin{aligned}
u_{n+1}-u_n &= \frac 1 {(4(n+1)-1)^2} - \frac 1 {(4n -1)^2}&
\\
&= \frac{(4n-1)^2 - (4n+3)^2}{(4n+3)^2(4n-1)^2}&
\\
&= \frac{(4n-1-4n-3)(4n-1+4n+3)}{(4n+3)^2(4n-1)^2}&
\\
&= \frac{-4(8n+2)}{(4n+3)^2(4n-1)^2}&
\\
&=\frac{-32n-8}{(4n+3)^2(4n-1)^2}.&
\end{aligned}\]
Le dénominateur, produit de deux carrés, est strictement positif.
Par contre,
\[n\ge 0 \implies -32n - 8 \le -8 < 0,\]
donc le numérateur est strictement négatif.
$u_{n+1}-u_n$ étant strictement négative, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
-
$u_n = 1 + \dfrac 1 2 + \dfrac 1 3 + \cdots + \dfrac 1 n$;
Corrigé
Ici
\[u_{n+1}- u_n = \dfrac 1 {n+1},\]
or $n\ge 0$ donc $\dfrac 1 {n+1} > 0$.
La suite est donc strictement croissante.
-
$u_n = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$.
Corrigé
Même astuce:
\[u_{n+1}-u_n = (n+1)^2 > 0,\]
donc la suite est strictement croissante.
retour