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Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par \[u_n = \frac{n^2-1}{n^2 + 1}.\]

1. Déterminer le premier nombre entier $n$ tel que :
   1. $0,9 < u_n < 1$;
      Corrigé
      Sachant que : \[n^2 - 1 < n^2 + 1\] et que $n^2 + 1$ est strictement positif, on a : \[\begin{aligned} n^2 - 1 &< n^2 + 1& \\ \implies \frac{n^2-1}{n^2+1} &< \frac{n^2+1}{n^2+1}& \\ \implies u_n &< 1.& \end{aligned}\] D'autre part : \begin{align*} u_n &> 0,9& \\ \implies \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} &> 0,9& \\ \implies n^2 - 1 &> 0,9(n^2 + 1)& \\ \implies n^2 - 1 &> 0,9n^2 + 0,9& \\ \implies n^2 - 0,9n^2 &> 0,9 + 1 \\ \implies 0,1n^2 &> 1,9& \\ \implies n^2 &> \frac{1,9}{0,1}& \\ \implies n^2 &> 19& \\ \implies n &> \sqrt{19}.& \end{align*} Sachant que $\sqrt{19}\approx 4, 36$, l'entier cherché est donc $n = 5$.
   2. $0,99 < u_n < 1$.
      Corrigé
      On a déjà montré que $u_n < 1$.
      D'autre part \begin{align*} u_n &> 0,99& \\ \implies \frac{n^2 - 1}{n^2 + 1} &> 0,99& \\ \implies n^2 - 1 &> 0,99(n^2 + 1)& \\ \implies n^2 - 1 &> 0,99n^2 + 0,99& \\ \implies n^2 - 0,99n^2 &> 0,99 + 1& \\ \implies 0,01n^2 &> 1,99& \\ \implies n^2 &> \frac{1,99}{0,01}& \\ \implies n^2 &> 199& \\ \implies n &> \sqrt{199}.& \end{align*} Sachant que $\sqrt{199}\approx 14,11$, l'entier cherché est donc $n=15$.
2. Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.
   Corrigé
   Il semble qu'aussi près que l'on souhaite être de 1, il y a un rang à partir duquel les termes de la suite vérifie cette condition.
   On peut supposer que la suite $(u_n)$ converge vers 1.

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