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Pour chaque proposition, déterminer, parmi les trois propositions, s'il y en a une exacte. Dans ce cas, préciser laquelle.

Soit la suite $(u_n)$ définie par \begin{gather*} u_2 = 11 \\ \forall n\in\mathbb N^*,\quad u_{n+1} = u_n - \dfrac{2}{n(n+1)} \end{gather*}

1. $u_3=\ldots$
   1. 10;
   2. $\dfrac{32}3$;
   3. $\dfrac{65} 6$.
   Corrigé
   La proposition B est correcte. En effet: \[\begin{aligned} u_3 &= u_2 - \frac{2}{2(2+1)}& \\ &= 11 - \frac 2 6& \\ &= 11 - \frac 1 3& \\ &= \frac{33 -1} 3& \\ &= \frac{32}3.& \end{aligned}\]
2. $u_1 = \ldots$
   1. 10;
   2. 11;
   3. 12.
   Corrigé
   La proposition C est correcte. En effet : \[\begin{aligned} u_2 &= u_1 - \frac 2 {1\times (1+1)}& \\ \iff 11 &= u_1 - 1& \\ \iff u_1 &= 11 +1 = 12.& \end{aligned}\]
3. $(u_n)$ est :
   1. une suite arithmétique non géométrique;
   2. une suite géométrique non arithmétique;
   3. une suite arithmétique et géométrique.
   Corrigé
   Aucune proposition n'est correcte. Si l'on regarde les trois premiers termes : \[u_1 = 12,\quad u_2 = 11 \quad\text{et}\quad u_3 = \frac{32}{3}.\] Puisque \[u_2 - u_1 \neq u_3 - u_2\] la suite ne peut pas être arithmétique.
   On a : \[\begin{aligned} \frac{u_2}{u_1} &= \frac{11}{12}& \\ \frac{u_3}{u_2} &= \frac{32/3}{11} = \frac{32}{33}.& \end{aligned}\] De \[\frac{u_3}{u_2} \neq \frac{u_2}{u_1}\] on déduit que la suite $(u_n)$ n'est pas davantage géométrique.
4. $(u_n)$ est :
   1. une suite croissante ;
   2. une suite décroissante;
   3. une suite non monotone.
   Corrigé
   La proposition B est correcte. Au regard des trois premiers termes, on peut conjecturer que $(u_n)$ est décroissante.
   De plus, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[u_{n+1} - u_n = u_n - \frac{2}{n(n+1)} - u_n= -\frac{2}{n(n+1)}\] Il est clair que \[ -\frac{2}{n(n+1)} <0.\] Donc il est certain que la suite $(u_n)$ est décroissante.
5. Pour tout $n\in\mathbb N^*$, $u_n =$
   1. $12 - \dfrac 2 n$;
   2. $10,5 + \dfrac 1 n$;
   3. $10 + \dfrac 2 n$.
   Corrigé
   La proposition C est correcte.
   C'est la seule qui donne les trois premiers termes : \[ \begin{aligned} n=1& \implies 10 + \frac 2 {n} = 12 = u_1\;;&\\ n=2& \implies 10 + \frac 2 n = 11 = u_2\;;&\\ n=3& \implies 10 + \frac 2 n = \frac{32}{33}.& \end{aligned}\] Montrons par récurrence qu'il en reste ainsi pour tous les $n\geqslant 1$.
   L'initialisation est déjà réalisée, et si, pour un rang $n$ donné : \[u_n = 10 - \frac 2 {n},\] alors au rang suivant $n+1$ : \[\begin{aligned} u_{n+1} &= u_n - \frac{2}{n(n+1)}& \\ &= 10 - \frac 2 n - \frac 2 {n(n+1)}& \\ &=10 - \frac{2(n+1)}{2n(n+1)} - \frac{2}{n(n+1)}& \\ &=10 - \frac{2n +2 - 2}{n(n+1)}& \\ &=10 - \frac{2n}{n(n+1)}& \\ &= 10 - \frac 2 {n+1}.& \end{aligned}\] La propriété est donc bien aussi héréditaire, donc vérifiée pour tout $n\geqslant 1$.
6. $(u_n)$ est :
   1. une suite convergente;
   2. une suite divergente vers $-\infty$;
   3. une suite divergente vers $+\infty$.
   Corrigé
   La proposition A est correcte. En effet : \[\lim_{n\to+\infty} \frac 2 n = 0 \implies \lim_{n\to+\infty} 10 - \frac 2 {n} = 10.\]

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