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On empile des cubes selon le modèle ci-dessous.

1. Combien de cubes sont utilisés si on construit ainsi dix étages ?
   Corrigé
   En partant du sommet, on ajoute 4 cubes pour réaliser la couche de cubes suivantes ; 1 cube, puis 1+4=5 cubes et ainsi de suite.
   Si l'on note $c_n$ le nombre de cubes de la $n$-ième couche, alors $(c_n)$ vérifie la relation \[c_{n+1} = c_n + 4.\] C'est une suite arithmétique de raison $r=4$ et de premier terme $c_1 = 1$.
   Le nombre de cubes nécessaires à la construction de dix étages est donc : \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{10} c_k &= c_1 + c_2 + \cdots + c_{10}& \\ &=10 \times \frac{c_1+c_{10}}2& \end{aligned}\] Or \[c_{10} = c_1 + 9\times 4 = 1+ 36 = 37.\] Donc \[\sum_{k=1}^{10} c_k = 10 \times \frac{1+37} 2 = 190.\]
2. Combien d'étages pourra-t-on construire si l'on dispose de 1000 cubes ?
   début corrigé (commun)
   Soit $n$ le nombre d'étages. On souhaite donc avoir $n$ le plus grand possible, mais vérifiant la condition \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^n c_k &\le 1000& \\ \iff n \times \frac{c_1 + c_n} 2 &\le 1000.& \end{aligned}\] Sachant que \[\begin{aligned} c_n &= c_1 + (n-1)r& \\ &= 1 + (n-1)\times 4& \\ &= 1 + 4n -4& \\ &= 4n -3,& \end{aligned}\] on souhaite donc avoir \[\begin{aligned} n\times\frac{1+4n- 3}2 &\le 1000& \\ \iff n\times \frac{4n-2}2 &\le 1000& \\ \iff n (2n - 1) &\le 1000.& \end{aligned}\]
   
   suite corrigé (sans équation degré 2)
   On peut calculer $n(2n-1)$ pour différentes valeurs de $n$ jusqu'à atteindre $1000$. Or \begin{gather*} n = 22 \implies n(2n-1) = 22\times 43 = 946; \\ n = 23 \implies n(2n-1) = 23\times 45 = 1035. \end{gather*} Donc $n=22$. On peut construire 22 étages.
   
   suite corrigé (avec équation degré 2)
   On transforme l'inéquation \begin{align*} n(2n-1) &\le 1000& \\ \iff 2n^2 -n -1000 &\le 0.& \end{align*} Le polynôme \[2x^2 - x - 1000\] a pour discriminant \[\Delta = (-1)^2 - 4\times 2 \times (-1000) = 8001.\] Il est positif, donc ce polynôme admet deux racines \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{1-\sqrt{8001}}{2\times 2} \approx -22,11&\\ x_2 &= \frac{1+\sqrt{8001}}{2\times 2} \approx 22,61& \end{aligned}\] Le coefficient principal étant positif, le polynôme est négatif entre ces deux racines.
   La plus grand valeur possible pour l'entier naturel $n$ est donc 22. On peut construire 22 étages.

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code : 751