EX-29
retour
Le conseil municipal d'une station touristique de montagne a décidé de faire équiper une falaise
pour créer un site d'escalade.
La falaise a une hauteur de 50 m.
L'équipement doit se faire depuis le haut de la falaise.
Une entreprise spécialisée dans les travaux acrobatiques propose le devis suivant :
- Le premier mètre coute 50 € ;
- Chaque mètre supplémentaire supplémentaire équipé coûte 5 % de plus que le mètre précédent.
Quel est, à un euro près, le prix à payer pour équiper cette falaise ?
Corrigé
Soit $c_n$ le coût de l'équipement du $n$-ième mètre de la falaise (en euros).
Puisque chaque mètre coûte 5 % de plus que le précédent : \[c_{n+1} = c_n + \frac 5{100} c_n = (1+0,05)c_n = 1,05c_n.\] La suite $(c_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $c_1 = 70$.
On cherche : \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{40} c_k &= c_1 + c_2 + \cdots + c_{40}& \\ &=c_1\times\frac{1-q^{50}}{1-q}& \\ &=70 \times \frac{1-1,05^{40}}{1-1,05}& \\ &\approx 8455,98.& \end{aligned}\] Arrondi à l'euro près, le prix à payer sera donc de 8 456 €.
Puisque chaque mètre coûte 5 % de plus que le précédent : \[c_{n+1} = c_n + \frac 5{100} c_n = (1+0,05)c_n = 1,05c_n.\] La suite $(c_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $c_1 = 70$.
On cherche : \[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{40} c_k &= c_1 + c_2 + \cdots + c_{40}& \\ &=c_1\times\frac{1-q^{50}}{1-q}& \\ &=70 \times \frac{1-1,05^{40}}{1-1,05}& \\ &\approx 8455,98.& \end{aligned}\] Arrondi à l'euro près, le prix à payer sera donc de 8 456 €.
retour
code : 752